一、单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
1. 下列数列中哪个是收敛数列
$\text{A.}$ $x_n=\sin n$
$\text{B.}$ $x_n=\frac{2^n-1}{3^n}$
$\text{C.}$ $x_n=n-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $x_n=(-1)^n+ \sin n$
2. 关于无穷小量, 哪一个是正确的
$\text{A.}$ 无穷小量是以零为极限的函数
$\text{B.}$ 无穷小量就是数 0
$\text{C.}$ 无穷小量就是一个很小的数
$\text{D.}$ 0 不是无穷小
3. 下列极限正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 x}{x}=1$
4. 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-2$
5. 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
6. 点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 第二类间断点
7. “函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导” 是 “函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续” 的
$\text{A.}$ 充分且必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充分非必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
8. 设 $y=e^{\sin x}$, 则微分 $\mathrm{d} y= $
$\text{A.}$ $e^{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $e^{\sin x} d \sin x$
$\text{C.}$ $e^{\sin x}$
$\text{D.}$ $e^{\sin x} \cos x$
9. 设 $f(x)=\arcsin x$, 则 $f^{\prime \prime}(0)$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -1
10. 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\ x^2, x>1\end{array}\right.$, 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左、右导数都存在
$\text{B.}$ 左导数存在, 右导数不存在
$\text{C.}$ 左导数不存在, 右导数存在
$\text{D.}$ 左、右导数都不存在
二、填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
11. 设函数 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,4]$, 则函数 $f\left(x^2\right)$ 的定义域是
12. 极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x-1}=$
13. 极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$
14. 曲线 $y=\frac{x^2}{9 x^2-1}$ 的水平渐近线方程为
15. 若 $x^2-a \sin x$ 和 $x$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的等价无穷小, 则 $a=$.
16. 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=9$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{3 x}=$
17. 曲线 $y=\arctan \frac{1}{x}$ 在点 $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ 的切线方程为
18. 函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ 的导数 $f^{\prime}(x)=$.
19. 设 $\left\{\begin{array}{c}x=t e^t, \\ y=\sin 2 t,\end{array}\right.$ 则导数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$
20. 若 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) \cdots(x+2021)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
21. 计算以下极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x+1}\right)^{x+5}$
22. 由方程 $y=\cos (x y)-x$ 所确定的隐函数为 $y=f(x)$, 求导数 $f^{\prime}(x)$.
23. 讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, \quad x=0 .\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
24. 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 且 $\boldsymbol{a b} \neq 0$, 证明: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\boldsymbol{a}\right)-f\left(x_0-b \boldsymbol{h}\right)}{\boldsymbol{h}}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$.
25. 设 $a>0, f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续, 且 $f(0)=f(2 a)$, 试证: 存在 $\xi \in[0, a]$, 使 $f(\xi)=f(\xi+a)$.