北京建筑大学2022年第一学期月考试卷

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北京建筑大学2022年第一学期月考试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 下列数列中哪个是收敛数列

A.

x_{n} = \sin n

B.

x_{n} = \frac{2^{n} - 1}{3^{n}}

C.

x_{n} = n - \frac{1}{n}

D.

x_{n} = (- 1)^{n} + \sin n

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2. 关于无穷小量, 哪一个是正确的

A.

无穷小量是以零为极限的函数

B.

无穷小量就是数 0

C.

无穷小量就是一个很小的数

D.

0 不是无穷小

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3. 下列极限正确的是

A.

lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 1

B.

lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1

C.

lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 1

D.

lim_{x \to \infty} \frac{\sin 2 x}{x} = 1

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4. 极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - 1}{\cos x - 1} =

A.

B.

\infty

C.

D.

- 2

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5. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则常数

a =

A.

B.

C.

D.

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6. 点

x = 0

是函数

f (x) = \frac{| x |}{x}

的

A.

连续点

B.

可去间断点

C.

跳跃间断点

D.

第二类间断点

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7. “函数

f (x)

在

x_{0}

处可导” 是 “函数

f (x)

在

x_{0}

处连续” 的

A.

充分且必要条件

B.

必要非充分条件

C.

充分非必要条件

D.

既非充分又非必要条件

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8. 设

y = e^{\sin x}

, 则微分

d y =

A.

e^{\sin x} d x

B.

e^{\sin x} d \sin x

C.

e^{\sin x}

D.

e^{\sin x} \cos x

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9. 设

f (x) = \arcsin x

, 则

f^{''} (0)

为

A.

B.

C.

D.

-1

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10. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{2}{3} x^{3}, x \leq 1 \\ x^{2}, x > 1 \end{cases}

, 则

f (x)

在

x = 1

处的

A.

左、右导数都存在

B.

左导数存在, 右导数不存在

C.

左导数不存在, 右导数存在

D.

左、右导数都不存在

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二、填空题（共 15 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设函数

f (x)

的定义域

D = [0, 4]

, 则函数

f (x^{2})

的定义域是

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12. 极限

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x - 1} =

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13. 极限

lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} =

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14. 曲线

y = \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 1}

的水平渐近线方程为

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15. 若

x^{2} - a \sin x

和

x

是

x \to 0

时的等价无穷小, 则

a =

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16. 设

f (x)

在

x = 0

处可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 9

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{3 x} =

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17. 曲线

y = \arctan \frac{1}{x}

在点

(1, \frac{π}{4})

的切线方程为

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18. 函数

f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}

的导数

f^{'} (x) =

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19. 设

{\begin{matrix} x = t e^{t}, \\ y = \sin 2 t, \end{matrix}

则导数

{\frac{d y}{d x} |}_{t = 0} =

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20. 若

f (x) = x (x + 1) (x + 2) (x + 3) \dots (x + 2021)

, 则

f^{'} (0) =

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21. 计算以下极限:
(1)

lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 1}

;
(2)

lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x + 2}{3 x + 1})}^{x + 5}

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22. 由方程

y = \cos (x y) - x

所确定的隐函数为

y = f (x)

, 求导数

f^{'} (x)

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23. 讨论函数

f (x) = {\begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x = 0 . \end{cases}

在

x = 0

处的连续性和可导性.

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24. 设

f (x)

在

x_{0}

处可导, 且

a b \neq 0

, 证明:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + a) - f (x_{0} - b h)}{h} = (a + b) f^{'} (x_{0})

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25. 设

a > 0, f (x)

在

[0, 2 a]

上连续, 且

f (0) = f (2 a)

, 试证: 存在

ξ \in [0, a]

, 使

f (ξ) = f (ξ + a)

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