讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, \quad x=0 .\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
【答案】 解 连续性: 由于 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0=f(0)$, 所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
可导性: 由于 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}-0}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$. 又考虑到
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{x_n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{y_n}=1,
$$
其中 $x_n=\frac{1}{2 n \pi}, y_n=\frac{1}{2 n \pi+\pi / 2}$. 所以 $\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在, 从而 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导.


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