填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{2 n+1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $n$ 为正整数.
设 $z=\frac{1}{x} f\left(x^2 y\right)+x y g(x+y)$ ，其中 $f, g$ 具有二阶连续导数， 计算 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $y(x)=\int_x^{4 x} \sin \left((x-t)^2\right) \mathrm{d} t$ ，求 $y^{\prime}(x)$.
设曲线 $\gamma$ 由 $y^2=\frac{1}{3} x^2(1-4 x), y \geq 0, x \in\left[0, \frac{1}{4}\right]$ 所定义，计 算 $\gamma$ 的弧长
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算第二型曲面积分
$$
I=\iint_S \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^4 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^2+y^2+z^2} .
$$
其中 $S$ 是圆柱面 $x^2+y^2=1$ 和平面 $z=-1, z=1$ 所围成的立 体的表面外侧.
证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}} \cos (n x)$
(1) 在区间 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上一致收敛;
(2) 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上一致收敛.
求函数 $f(x)=\cos (\alpha x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数， 其中 $\alpha$ 不是整数，并证明:
(1) $\frac{1}{\alpha}+2 \alpha \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}=\frac{\pi}{\sin (\alpha \pi)}$.
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(4 n^2-1\right)^2}=\frac{\pi^2-8}{16}$.
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 证明: 存在 $c \in(0,1)$
使得 $\int_0^c f(x) \mathrm{d} x=(1-c) f(c)$.
求实系数二次多项式 $p(x)$ ，使得
$$
\left|p(x)+\frac{1}{x-3}\right| < 0.02, \forall x \in[-1,1] \text {. }
$$
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数，且
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=\frac{27}{2},
$$
证明: $\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x>2021$.
设 $f(x)$ 是 $R$ 上的一个有界连续函数，且满足
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \sup _{x \in R}|f(x+h)-2 f(x)+f(x+h)|=0 \text {. }
$$
证明: $f(x)$ 在 $R$ 上一致连续.