求实系数二次多项式 $p(x)$ ,使得
$$
\left|p(x)+\frac{1}{x-3}\right| < 0.02, \forall x \in[-1,1] \text {. }
$$
【答案】 设 $p(x)=a x^2+b x+c$ ,于是 $\forall x \in[-1,1]$ ,有
$$
\begin{aligned}
& \left|p(x)-\frac{1}{x-3}\right| \leq \frac{|(x-3) p(x)-1|}{2} . \\
& =\frac{1}{2}\left|a x^3+(b-3 a) x^2+(c-3 b) x-3 c-1\right| \\
& \leq \frac{1}{2}\left|a x^3\right|+\left|(b-3 a) x^2\right|+|(c-3 b) x|+|3 c+1| \\
& \leq \frac{1}{2}(|a|+|b-3 a|+|c-3 b|+|3 c+1|)
\end{aligned}
$$
取 $a=\frac{1}{26}, b=-\frac{1}{9}, c=-\frac{1}{3}$ ,即 $p(x)=\frac{1}{26} x^2-\frac{1}{9} x-\frac{1}{3}$ ,则:
$$
\left|p(x)-\frac{1}{x-3}\right| \leq \frac{1}{2} \times \frac{1}{26}=\frac{1}{52} < 0.02
$$


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