设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 证明: 存在 $c \in(0,1)$
使得 $\int_0^c f(x) \mathrm{d} x=(1-c) f(c)$.
【答案】 【参考证明】令 $F(t)=(t-1) \int_0^t f(x) d x$ ,则 $F(0)=F(1)=0$ 由罗尔定理得 $\exists c \in(0,1)$ ,使得 $F^{\prime}(c)=0$ ,即
$$
F^{\prime}(c)=\int_0^c f(x) \mathrm{d} x+(c-1) f(c) ,
$$
即有 $\int_0^c f(x) d x=(1-c) f(c)$.


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