设 $f(x)$ 是 $R$ 上的一个有界连续函数,且满足
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \sup _{x \in R}|f(x+h)-2 f(x)+f(x+h)|=0 \text {. }
$$
证明: $f(x)$ 在 $R$ 上一致连续.
【答案】 反证: 若 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续,则 $\exists \varepsilon_0 > 0$ ,对 $\forall \delta > 0$ ,即使有 $|x-y| < \delta$ , 但 $|f(x)-f(y)| \geq \varepsilon_0$. 因为
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \sup |f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)|=0 ,
$$
所以对 $\varepsilon_n=\frac{\varepsilon_0}{n}$ ,有 $\delta_n > 0$ 使得,当 $|h| < \delta_n$ 时,
$$
|f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)| < \varepsilon_n
$$
由上知:有 $\left|x_n-y_n\right| < \delta_n$ , 使得 $\left|f\left(x_n\right)-f\left(y_n\right)\right| \geq \varepsilon_0$. 不妨设 $x_n-y_n=\left|h_n\right|$ ,作代换
$$
x_n=z_n+m\left|h_n\right|, y_n=z_n+(m-1)\left|h_n\right|
$$
不妨设 $f\left(x_n\right) > f\left(y_n\right)$, 于是:
$$
\begin{aligned}
& f\left(z_n+\left|h_n\right|\right)-f\left(z_n\right) \geq \varepsilon_0 \\
& f\left(z_n+2\left|h_n\right|\right)-f\left(z_n+\left|h_n\right|\right) \geq \varepsilon_0
\end{aligned}
$$

$$
f\left(z_n+n\left|h_n\right|\right)-f\left(z_n+(n-1)\left|h_n\right|\right) \geq \varepsilon_0
$$
上式累加 ,得: $f(z+n|h|)-f\left(z_n\right) \geq n \varepsilon_0 \cdot f(x)$ 有界, 则 $\exists M > 0,|f(x)| \leq M$ ,于是 $f\left(z_n+n|h|\right)-f\left(z_n\right) \leq 2 M$ , 取 $n=\left[\frac{2 M}{\varepsilon_0}\right]+1$ ,显然得出矛盾,所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。


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