证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}} \cos (n x)$
(1) 在区间 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上一致收敛;
(2) 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上一致收敛.
【答案】 (1) 由于 $\left|\frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}} \cos n x\right| \leq\left|\frac{x^n}{1+x+x^2+\ldots+x^{2 n-1}}\right| < \left(\frac{1}{2}\right)^n$, $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 收玫, 由魏尔斯特拉斯判别法知: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}} \cos (n x)$ 在 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上一致收敛.


(2) 令 $a_n=\frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}}$ ,由于 $1-x^{2 n} > 0$ 且递增, $(1-x) x^n > 0$ 且递减, 所以 $a_n$ 单调递减 又 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}}=0$ ,
$$
2 \sin \frac{x}{2} \sum_{k=}^n \cos k x=\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)-\sin \frac{x}{2}
$$
则 $\left|\sum_{k=1}^n \cos k x\right| \leq \frac{1}{\sin \frac{x}{2}} \leq \frac{1}{\sin \frac{1}{4}}$ ~所以 $\sum_{k=1}^n \cos k x$ 有界。由狄利克 雷判别法知: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x) x^n}{1-x^{2 n}} \cos (n x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上一致收玫.


系统推荐