求函数 $f(x)=\cos (\alpha x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数， 其中 $\alpha$ 不是整数，并证明:
(1) $\frac{1}{\alpha}+2 \alpha \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}=\frac{\pi}{\sin (\alpha \pi)}$.
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(4 n^2-1\right)^2}=\frac{\pi^2-8}{16}$.