一、单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设 $\alpha_1=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \alpha_2=\int_0^{x^4} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} d t, \alpha_3=\int_0^x d u \int_0^{u^2} \arctan t d t$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
2. 曲线 $y=x \ln \frac{x}{x-1}+\ln [x(x-1)]$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
3. 若 $\frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0 < a < 1)$ 上的平均值, 其中 $\xi \in(0,1), \eta \in$ $(0, a)$, 则 $\xi$ 与 $\eta$ 的大小关系为 ( )
$\text{A.}$ $\xi < \eta$.
$\text{B.}$ $\xi=\eta$.
$\text{C.}$ $\xi>\eta$.
$\text{D.}$ 从已知条件无法确定.
4. 设函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续,则下列命题中, 正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(1,0)$ 与沿 $(-1,0)$ 的方向导数均存在, 则偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$存在.
$\text{B.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 存在,则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(-1,0)$ 的方向导数等于 $-f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$.
$\text{C.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在。
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的偏导数均存在.
5. 设 $A$ 为 $n \times m$ 矩阵,且 $m \neq n$. 若 $A A ^{ T }= E _n$, 则 ( )
$\text{A.}$ $A x=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ $A x = b$ 必有解.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 必有解.
$\text{D.}$ 若 $m$ 维列向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 线性无关, 则 $A \beta _1, A \beta _2, \cdots, A \beta _s$ 必线性无关.
6. 设 $n$ 阶矩阵 $A = E -k \alpha \alpha ^{ T }$, 其中 $k \neq 0, \alpha \neq 0$. 若 $A ^2= E$, 则下列命题中, 错误的是 ( )
$\text{A.}$ $n-\operatorname{tr}(A)$ 为偶数.
$\text{B.}$ $| A |=-1$.
$\text{C.}$ $A$ 可相似对角化.
$\text{D.}$ $A$ 有 $n-1$ 个线性无关的属于特征值 -1 的特征向量.
7. 设二次型 $f(x, y, z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$, 其对应的对称矩阵为 $A$. 在自然基 $e_1, e_2$, $e _3$ 下, 二次曲面 $S$ 的曲面方程为 $f(x, y, z)=3$ 。该曲面方程在正交变换 $\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)= Q \left(\begin{array}{l}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ 下化为 $\lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2+\lambda_3 w^2=3$, 其中 $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \lambda_3$. 该变换将 $e _1, e _2, e _3$ 分别变为 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$. 下列命题中,正确的是（）
$\text{A.}$ $\left( e _1, e _2, e _3\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) Q$.
$\text{B.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{ T }$.
$\text{C.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^{ T }$.
$\text{D.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{ T }$.
8. 设随机变量 $X$ 的分布函数与概率密度分别为 $F(x), f(x)$, 且对于任意实数 $x, F(x) \neq 1$, 则下列反常积分中，发散的是（）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1+F^2(x)}} d x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1-F^2(x)}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{1+F^2(x)} d x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{1-F^2(x)} d x$.
9. 设随机变量 $X, Y$ 独立同分布, $P\{X=0\}=p, P\{X=1\}=1-p=q, 0 < p < 1$. 令 $Z=$ $\begin{cases}1, X+Y \text { 为偶数, } \\ 0, & X+Y \text { 为奇数. }\end{cases}$
$\text{A.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0 < p_1$.
$\text{B.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0=p_1$.
$\text{C.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0>p_1$.
$\text{D.}$ $X, Z$ 是否独立与 $p_0, p_1$ 的大小关系无关.
10. 设随机变量 $X$ 满足 $E(X)=E\left(X^3\right)=0, E\left(X^2\right)=1, D\left(X^2\right)=2$, 则根据切比雪夫不等式, $P\left\{\left|X^2+2 X-1\right| \geqslant 5\right\} \leqslant(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{25}$.
$\text{B.}$ $\frac{4}{25}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $\frac{6}{25}$.
二、填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
11. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^3+n}}=$
12. 已知多项式 $f(x)$ 为三次多项式，且 $f(x)=0$ 与 $y^{\prime \prime \prime}-(k+2) y^{\prime \prime}+(2 k+1) y^{\prime}-k y=0(k \neq 1)$的特征方程同根, 且根的重数相同. 若 $\lim _{x \rightarrow k} \frac{f(x)}{x-k}=1$, 且 $f(2)=-\frac{1}{4}$, 则 $k=$
13. 函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^n$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处的幂级数展开式为
14. 设向量场 $A (x, y, z)=\left(z^2, x^2, y^2\right)$ ，以点 $M_0(1,1,0)$ 为圆心， $\varepsilon$ 为半径，在 $x O y$ 面上作一圆盘 $\Sigma_{\varepsilon}$, 面积为 $\sigma_{\varepsilon}, \Gamma$ 为该圆盘的正向边界, $\tau$ 为 $\Gamma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量, 则 $\lim _{\sigma \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sigma_{\varepsilon}} \oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s$ $=$
15. 设 $\alpha =(1,0,2)^{ T }, \beta =(4,1,-2)^{ T }$. 记 $A = \alpha \beta ^{ T }$, 则 $( E + A )^n=$
16. 通过点 $(1,0)$ 随机作直线与 $x$ 轴成 $\alpha$ 角, $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$. 记该直线在 $y$ 轴上的截距为 $Y$, 则 $Y$的概率密度 $f_Y(y)=$
三、解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导, $f(1)=0$, 且满足
$$
\begin{gathered}
x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_1^x f(t) d t=x-1 . \\
\text { 求 } \int_1^2 f(x) d x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x \frac{\sin (t-1)^2}{t-1} d t}{f(x)} .
\end{gathered}
$$
18. 设某半球体型物体 $A$ 占据空间区域 $\Omega: 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{1-x^2-y^2}$. 密度函数 $\rho(x, y, z)$ 满足
$$
\rho(x, y, z)=4 z+\frac{2}{\pi} \sqrt{x^2+y^2} \iint_{\Omega} \rho(x, y, z) d v .
$$
(I) 求 $\rho(x, y, z)$;
(II) 求 $A$ 的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$.
19. 设二元函数 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数,且满足 $f(0,0)=0, f_1^{\prime}(0,0)=1$ 以及对于任意 $x$,都有 $f_2^{\prime}(x, y)>0$.
(I) 设 $\varphi(x)$ 的导函数连续, 当 $x>0$ 时, $\varphi(x)>0$, 且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi(x)}{x}=0$, 证明: 对所有的 $0 \leqslant \xi \leqslant \varphi(x)$, 都有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, \xi)}{x}=1$.
(II) 设 $n>1$, 若当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $\int_0^{x^n} d u \int_x^{u^{\frac{1}{n}}} f(t, u) d t$ 与 $1-\cos x^2$ 是同阶无穷小, 求 $n$.
20. 设 $\left\{a_n\right\}$ 为单调增加的无界正项数列, $f(x)$ 为 $\left[a_1,+\infty\right)$ 上的单调增加正值函数, 且 $\int_{a_1}^{+\infty} \frac{ d x}{x f(x)} < +\infty$. 证明:
( I ) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+1} f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛;
(II) 若 $a_1=1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}\left(a_{n+1}-a_n\right)}{a_{n+1}\left(1+a_n\right)}$ 收敛, 且其值小于 $\frac{\pi+1}{2}$.
21. 设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵, $\alpha =\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 为属于特征值 3 的一个特征向量.
(I) 若 $A$ 满足 $r(3 E - A )>1$, 且 $A ^2-4 A +3 E = O$, 求 $A$.
( II ) $A$ 为第 ( I ) 问中所求矩阵, $B =\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. 是否存在可逆矩阵 $P$ 为矩阵方程 $A X - X B$ $= O$ 的解? 若存在, 求 $P$, 若不存在, 说明理由.
22. 设总体 $X$ 服从均匀分布 $U(\theta, a), a$ 为已知参数. $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本。
(I) 求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_1$ 与最大似然估计量 $\hat{\theta}_2$;
(II) 判断 $\hat{\theta}_1$ 与 $\hat{\theta}_2$ 的无偏性.