单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$, 则该双曲线的实轴长为 (）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
| " $m n < 0$ " 是 " $m x^2+m y^2=1$ 为双曲线" 的（）
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知双曲线 $C_1$ 与双曲线 $C_2: \frac{x^2}{2}-y^2=1$ 有相同的渐近线, 且它们的离心率不相同, 则下列方程中有可能为双曲线 $C_1$ 的标准方程的是 ( $\quad$ ）
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$
已知双曲线 $C: 2 x^2-y^2=2$, 过点 $P(1,2)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M 、 N$ 两点, 若 $P$ 为线段 $M N$ 的中点, 则弦长 $|M N|$ 等于（）
$\text{A.}$ $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 点 P 在双曲线的右支上, 且 $2\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=\sqrt{5}\left|F_1 F_2\right|, \angle F_1 P F_2=90^{\circ}$, 则双曲线 C 的离心率是（）
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{10}$
已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 的右焦点为 $F, P$ 为双曲线左支上一点, 点 $A(0, \sqrt{2})$, 则 $\triangle A P F$ 周长的最小值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $4+\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $4(1+\sqrt{2})$
$\text{C.}$ $2(\sqrt{2}+\sqrt{6})$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}+3 \sqrt{2}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左, 右焦点分别为 $F_1, F_2, O$ 为坐标原点, 点 $P$ 是双曲线 $C$ 上的一点, $|O P|=\left|O F_2\right|$, 且 $\triangle P O F_1$ 的面积为 4 , 则实数 $b=(\quad$ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 4
如图, 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_1$ 的直线与 $C$ 分别在第一、二象限交于 $A, B$ 两点, $\triangle A B F_2$ 内切圆半径为 $r$, 若 $\left|B F_1\right|=r=a$, 则 $C$ 的离心率为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{30}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{85}}{5}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列曲线中与直线 $y=-2 x-3$ 有交点的是（）
$\text{A.}$ $4 x+2 y-1=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=3$
$\text{C.}$ $\frac{y^2}{2}-x^2=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-y^2=1$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线过点 $P\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), F$ 为 $C$ 的右焦点, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{B.}$ $C$ 的渐近线方程为 $x-\sqrt{2} y=0$
$\text{C.}$ 若 $F$ 到 $C$ 的渐近线的距离为 $\sqrt{2}$, 则 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ 设 $O$ 为坐标原点, 若 $|P O|=|P F|$, 则 $S_{\triangle P O F}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$, 左、右顶点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点, 如图, 已知动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 左、右两支分别交于 $P, Q$ 两点, 与其两条渐近线分别交于 $R, S$ 两点, 则下列命题正确的是 ( )
$\text{A.}$ 存在直线 $l$, 使得 $A P \| O R$
$\text{B.}$ $l$ 在运动的过程中, 始终有 $|P R|=|S Q|$
$\text{C.}$ 若直线 $l$ 的方程为 $y=k x+2$, 存在 $k$, 使得 $S_{\triangle O R B}$ 取到最大值
$\text{D.}$ 若直线 $l$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-a), \overrightarrow{R S}=2 \overrightarrow{S B}$, 则双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{t-7}-\frac{y^2}{t}=1$ 的一条渐近线方程为 $4 x-$ $3 y=0$ ，过点 $(5,0)$ 作直线 $l$ 交该双曲线于 $A$ 和 $B$ 两点，则下列结论中正确的有（（）
$\text{A.}$ 该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
$\text{B.}$ 该双曲线的离心率为 $\frac{5}{3}$
$\text{C.}$ 若 $A$ 和 $B$ 在双曲线的同一支上, 则 $|A B| \geq \frac{32}{3}$
$\text{D.}$ 若 $A$ 和 $B$ 分别在双曲线的两支上, 则 $|A B| \geq 8$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点是 F , 左、右顶点分别是 $A_1, A_2$, 过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线与双曲线交于 $B, C$ 两点, 若 $A_1 B \perp A_2 C$, 则该双曲线的渐近线方程为
若双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 上存在两个点关于直线 $l: y=k x+4(k>0)$ 对称, 则实数 $k$ 的取值范围为
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 作一条直线与双曲线右支交于 $A, B$ 两点,坐标原点为 $O$, 若 $|O A|=\sqrt{a^2+b^2},\left|B F_1\right|=5 a$, 则该双曲线的离心率为
三等分角是 "古希腊三大几何问题" 之一, 目前尺规作图仍不能解决这个问题. 古希腊数学家 Pappus (约 $300^{\sim} 350$ 前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点 $C$ 为圆心作圆交角的两边于 $A, B$ 两点; 取线段 $A B$ 的三等分点 $O, D$; 以 $B$ 为焦点, $A, D$ 为顶点作双曲线 $H$. 双曲线 $H$ 与弧 $A B$ 的交点记为 $E$, 连接 $C E$, 则 $\angle B C E=\frac{1}{3} \angle A C B$. |
(1)双曲线 $H$ 的离心率为 $\qquad$
(2) 若 $\angle A C B=\frac{\pi}{2},|A C|=3 \sqrt{2}, C E$ 交 $A B$ 于点 $P$, 则 $|O P|=$ $\qquad$
