如图, 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_1$ 的直线与 $C$ 分别在第一、二象限交于 $A, B$ 两点, $\triangle A B F_2$ 内切圆半径为 $r$, 若 $\left|B F_1\right|=r=a$, 则 $C$ 的离心率为 ( )
A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
B. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{30}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{85}}{5}$