已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 点 P 在双曲线的右支上, 且 $2\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=\sqrt{5}\left|F_1 F_2\right|, \angle F_1 P F_2=90^{\circ}$, 则双曲线 C 的离心率是（）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{10}$