单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点, 无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
若 $u(x, y)$ 的二阶偏导数存在且 $u \neq 0$, 则条件 $u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ 是 $u(x, y)=f(x) g(y)$ 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(2 x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛,在 $x=2$ 处发散, 则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{2 n+1}$ 的收敛半径为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
设实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ 且 $a_{33}=-1$, 则下列命题正确的是 ( )
(1)矩阵 $A$ 是实对称矩阵.
(2)矩阵 $A$ 是正交矩阵。
(3)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵等价.
(4)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵合同.
(5)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵相似.
$\text{A.}$ (2)(3)(5)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)(4)(5)
已知三维向量组 $\alpha_1=(-1,2,6)^T, \alpha_2=(2,1,4)^T, \beta_1=(4,-3,2)^T, \beta_2=(-1,-8,4)^T$, 则既可以由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示,也可以由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示的非零向量是
$\text{A.}$ $(13,-1,2)^T$
$\text{B.}$ $(-3,5,-3)^T$
$\text{C.}$ $(3,-11,6)^T$
$\text{D.}$ $(1,3,10)^T$
三阶矩阵 $A=\alpha \alpha^T+4 \beta \beta^T$, 正交矩阵 $Q=(\alpha, \gamma, \beta)$, 则 $x^T\left[(A+E)^*-5 E\right] x$ 在 $x^T x=5$ 下的最大值是
$\text{A.}$ 25
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ -15
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从指数分布 $E(1)$ ，且 $X, Y$ 相互独立,则 $P\{1 \leqslant \min (X, Y) \leqslant 2\}=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{-1}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{-1}\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right)$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{-2}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-2}\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right)$
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(0,0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ; 0\right), \Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $P\{X-Y < E(|X-Y|)\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\Phi(\sqrt{2})$
$\text{C.}$ $\Phi\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)$
$\text{D.}$ $\Phi\left(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\right)$
设随机变量 $X \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right)$, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关, 则 $X \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_1+X \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x^3+y^3-3 x+6 y=2$, 则 $\left.\frac{d^2 x}{d y^2}\right|_{x=2}=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^4}=$
$\Delta^2 y_x+\Delta y_x-y_{x+2}-2 y_{x+1}=y_x$ 的通解为
累次积分 $I=\int_0^1 d y \int_0^{y^2} y \sin (1-x)^2 d x=$
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 3 \\ a & b & c \\ 2 & -14 & -10\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $a=$
设随机事件 $A, B, C$ 的概率均为 $p$, 且 $A$ 与 $B, C$ 分别独立, $B$ 与 $C$ 不相容. 若 $A, B, C$ 中至少有一个发生的概率为 $\frac{7}{9}$, 则 $A, B, C$ 至少发生两个的概率为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{t^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
设 $x_n=\underbrace{\sin \sin \cdots \sin x}_{n \cdot}, x \in(-\infty,+\infty)$, 求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设 $f(x)=(1-x)^3 \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n-2 x-1$, 求 $f(x)$ 的极值.
设 $f(x, y)$ 在单位圆上有连续的一阶偏导数, 且在边界上取值为零. 证明:
$$
f(0,0)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \frac{-1}{2 \pi} \iint_{D_s} \frac{x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}}{x^2+y^2} d x d y
$$
其中 $D_{\varepsilon}$ 为圆环域， $\varepsilon^2 \leq x^2+y^2 \leq 1$.
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2+2 x_3+x_4=0 \\ x_2+a x_3-a x_4=0 \\ x_1+2 x_2+3 x_4=0\end{array}\right.$ (1)与方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+b x_2-2 x_3+5 x_4=0 \\ 3 x_1+7 x_2+c x_3+7 x_4=0\end{array}\right.$ (2)同解.
(I) 求 $a, b, c$ 的值;
(II) 求方程组(1)的系数矩阵 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组, 并且将其余列向量用极大线性无关组线性表示; $\square$
(III) 求方程组满足 $x_1=x_2$ 的解.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且服从参数为 $\theta$ 的指数分布, 令 $U=\min _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$.
(I) 求 $U$ 的概率密度;
(II) 设 $U_1, U_2, \cdots, U_m$ 为来自总体 $U$ 的简单随机样本, 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$.