填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(4-x)}}=$
$\int \frac{\ln x-1}{x^2} \mathrm{~d} x=$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
$\int \frac{\sqrt{3+2 x-x^2}}{(x-1)^2} d x=$
$\int \frac{\ln \left(1-x^2\right)}{2 x^2 \sqrt{1-x^2}} d x=$
$\int \frac{(x \sin x+\cos x)^2}{\cos ^2 x} d x=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$, 且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\int \varphi(x) \mathrm{d} x$.
求不定积分 $\int(\arcsin x)^2 \mathrm{~d} x$
计算不定积分 $\int \frac{\arctan x}{x^2\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x$.
求不定积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2-1} \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} d x$
求不定积分 $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.