单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=(1-\cos x)(2-\cos x) \cdots(n-\cos x)$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(n-1)$ !.
$\text{B.}$ $n !$.
$\text{C.}$ $(n+1)$ !.
$\text{D.}$ 0
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
当 $a$ 取下列哪个值时，函数 $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-a$恰好有两个不同的零点
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ 0
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
设 $x \rightarrow 0$ 时, $e ^{\tan x}- e ^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小, 则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4.
设函数 $f^{\prime}(x)$ 连续, 则 $\int f^{\prime}(2 x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f(2 x)+c$;
$\text{B.}$ $2 f(x)+c$;
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} f(2 x)+c$;
$\text{D.}$ $x f(2 x)+c$.
设函数 $f(x)=x\left[\frac{1}{x}\right](x>0)$, 其中 $\left[\frac{1}{x}\right]$ 表示不超过 $\frac{1}{x}$ 的最大整数, 则( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续
$\text{B.}$ $f(x)$ 只有有限个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 只有无限个跳跃间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 只有无限个可去间断点
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)=k x^2$ 与
$$
\beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}
$$
是等价无穷小，则 $k=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+e^t, \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
$\int e^x \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+2^x\right)^{\frac{2}{x}}=$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}$, 记 $a=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ，
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)-a$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，求常数 $k$ 的值.
计算不定积分 $\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$.
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值.
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
设函数$f(x)$在$[0,2]$上具有连续导数
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明: (I) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(I) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.