单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $1 < x < 3$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2024+x^n+x^{2 n}+\frac{1}{3^n} x^{3 n}}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $x$.
$\text{C.}$ $x^2$.
$\text{D.}$ $\frac{x^3}{3}$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{(\arctan x)^2}=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right\}^{\frac{1}{x}}\left(a_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.