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极限训练

数学

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设

1 < x < 3

, 则极限

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2024 + x^{n} + x^{2 n} + \frac{1}{3^{n}} x^{3 n}} =

A.

1

B.

x

.

C.

x^{2}

.

D.

\frac{x^{3}}{3}

.

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2. 设

f (x)

满足

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f (x) \sin 2 x} - 1}{e^{x^{2}} - 1} = 1

, 则

A.

f (0) = 0

B.

lim_{x \to 0} f (x) = 0

C.

f^{'} (0) = 1

D.

lim_{x \to 0} f^{'} (x) = 1

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

3.

lim_{x \to 0} \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}

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4. 设函数

f (x)

在点

x = 0

可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 2

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 - \cos x)}{(\arctan x)^{2}} =

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三、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5. 求

lim_{x \to 0} {\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \dots + a_{n}^{x}}{n}}^{\frac{1}{x}} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)

.

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6. 设

lim_{x \to 0} \frac{e^{a x} - \frac{1 + b x}{1 + 2 x}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}} = - 4

, 求

a, b

.

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7. 求极限

lim_{n \to \infty} n (\frac{1}{n^{2} + π} + \frac{1}{n^{2} + 2 π} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n π})

.

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8.

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \tan x}}{\sin x}

.

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9.

lim_{n \to \infty} {[\cos (π \sqrt{n^{2} + 1})]}^{2}

.

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10.

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

.

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11.

lim_{x \to 0} {[\cos (x e^{x}) - \ln (1 - x) - x]}^{\cot x^{3}} .

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12.

lim_{x \to + \infty} {(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^{x} - 1}{a - 1})}^{\frac{1}{x}} (a > 0, a \neq 1) .

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13. 求极限

lim_{n \to \infty} n^{2} (n \sin \frac{1}{n} - 1)

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14. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + \tan^{2} x} - \sqrt{\cos x}}{x \sin x}

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15. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \cdot \tan x})

.

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16. 求极限

lim_{x \to + \infty} [\sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x}) - 2 x \ln 2]

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17. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}

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18. 求极限:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + \dots + k^{2}}

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19. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2} \sin \frac{1}{x})}{x}

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20. 求极限

lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + \sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^{2} \ln x}

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