一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $1 < x < 3$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2024+x^n+x^{2 n}+\frac{1}{3^n} x^{3 n}}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $x$.
$\text{C.}$ $x^2$.
$\text{D.}$ $\frac{x^3}{3}$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{(\arctan x)^2}=$
三、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right\}^{\frac{1}{x}}\left(a_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\cos \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)\right]^2$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n !}}{n}$.
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos \left(x \mathrm{e}^x\right)-\ln (1-x)-x\right]^{\cot x^3} .$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1) .$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(n \sin \frac{1}{n}-1\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^2 x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 x \ln 2\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1^2+2^2+\cdots+k^2}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+\sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^2 \ln x} $