有一点难的求极限-数学组卷-自助组卷

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有一点难的求极限

数学

一、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设函数

f (x)

具有连续的导数, 且

f (1) = 0, f^{'} (1) = 2

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (\sin^{2} x + \cos x)}{e^{x^{2}} - \cos x}

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2. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x) - \tan (\tan x)}{\sin x - \tan x}

.

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3.

lim_{n \to \infty} {(\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3})}^{n}

其中

a > 0, b > 0, c > 0

.

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4. 已知

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, g^{'} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}

, 且

f (0) = g (0) = 0

, 试求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{g (x)}]

.

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5.

lim_{x \to + \infty} {[\frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})}]}^{x^{2} \ln x}

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6.

lim_{x \to + \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{(1 + x)})}^{1 + x} - {(1 + \frac{1}{x})}^{x}}{\ln \arctan (x + 1) - \ln \arctan x}

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7. 设

f (x)

连续可导, 且

f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = π

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (\sin x)}{\tan^{2} x - \sin^{2} x}

.

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