一、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x\right) \mathrm{d} x$, 其中 $a b \neq 0$.
计算 $\int_0^1 \frac{\ln \left(1-a^2 x^2\right)}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$, 其中 $|a| \leq 1$.
已知 $\cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n(-1 < x < 1)$ ，求 $a_n$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$.
(1)求 $a$ ；
(2)求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
已知随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为
$$
P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2} .
$$
$Y$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松分布， $Z=X Y$.
(1)求 $\operatorname{cov}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z})$ ；
(2)求 $Z$ 的分布律.
已知总体 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty ，
$$
$\sigma$ 为大于 0 的未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$.
(1)求 $\hat{\sigma}$ ；
(2)求 $E(\hat{\sigma}) ， D(\hat{\sigma})$.