一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
以下说法正确的是( ).
$\text{A.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积
$\text{B.}$ 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$, $x \in[a, b]$ 可导
$\text{C.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $c \in(a, b)$ ，则 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) $
$\text{D.}$ 如果 $f(x)$ 是定义在区间 $[-a, a](a>0)$ 上的奇函数，则 $ \int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t=0$
设 $f(x)=\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t, g(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，下列结论正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶的无穷小，但不等价
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，则 $\int_{a+k T}^{a+(k+1) T} f(x) \mathrm{d} x$ 的积分值( )
$\text{A.}$ 仅与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 仅与 $a$ 无关
$\text{C.}$ 与 $a$ 和 $k$ 都无关
$\text{D.}$ 与 $a$ 和 $k$ 都有关
三、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
某人射击中靶的概率为 $0.75$. 若射击直到中靶为止, 求射击次数为 3 的概率。
设随机变量 $\xi$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}k x^b & 0 < x < 1,(b>0, k>0) \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 且 $P\left(\xi>\frac{1}{2}\right)=0.75$, 则 $\mathrm{K}$ 和 $\mathrm{b}$ 分别为多少?
假设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是取 自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的一个样本, 令 $K=\left(a X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2$, 则当 $a=1 / 20, b=1 / 100$ 时, 统计量服从 $\chi^2$ 分 布, 其自由度是多少?
某大学从来自 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位: $\mathrm{cm}$ ）后算得 $\overline{\mathrm{x}}=175.9, \overline{\mathrm{y}}=172.0 ; \mathrm{s}_2^1=11.3, \mathrm{~s}_2^2=9.1$ 。假设两市新生身高分别服从正态分 布 $\mathrm{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu_1, \sigma^2\right), \mathrm{Y} \sim \mathrm{N}\left(\mu_2, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 末知。试求 $\mu_1-\mu_2$ 的置信度为 $0.95$ 的置信 区间。 $\left(\mathrm{t}_{0.025}(9)=2.2622, \mathrm{t}_{0.025}(11)=2.2010\right)$ 。
四、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 试求:
(1) $F(x)$ 的极值；
(2)曲线 $y=F(x)$ 的拐点的横坐标;
(3) $\int_{-2}^3 x^2 F^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设 $a$ 为大于 1 的常数， $f(x)$ 是连续函数，证明
$$
\int_1^a f\left(x^2+\frac{a^2}{x^2}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_1^a f\left(x+\frac{a^2}{x}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x .
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导数，且 $f(0)=0$ ， 证明 $\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M a^2}{2}$ ，其中 $M=\max _{0 \leq x \leq a}\left|f^{\prime}(x)\right|$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(x) \geq 0, g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明: 对于任意 $a \in[0,1]$ ， 有 $\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1)$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
设函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处可导， $f(2)=f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$ ，求极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}\right) \dfrac{1}{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2}
$$
求曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+2 x}$ 的所有渐近线方程.