一、解答题 （ 共 27 题，满分 150 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上一点, $E$ 是 $B D$ 的中点, $\angle 1=\angle 2$ 。 求证: $\angle A D B=2 \angle A B D$
已知正方形 $A B C D, P$ 是 $C D$ 上的一点, 以 $A B$ 为直径的圆 $\odot O$ 交 $P A 、 P B$ 于 $E 、 F$, 射线 $D E 、 C F$ 交于点 $M$ 。求证：点 $M$ 在 $\odot O$ 上。
已知, 点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 内一定点, 且有 $\angle D A C=\angle D C B=\angle D B A=30^{\circ}$ 。
求证: $\triangle A B C$ 是正三角形。
如图, 过正方形的顶点 $A$ 的直线交 $B C 、 C D$ 于 $M 、 N, D M$ 与 $B N$ 交于点 $L, B P \perp B N$, 交 $D M$ 于点 $P$ 。求证: (1) $C L \perp M N$; (2) $\angle M O N=\angle B P M$
已知: 在正方形 $A B C D$ 中边长为 $1, E$ 是 $C D$ 上一点, $A E$ 交 $B D$ 于点 $G$, 交 $B C$ 的延长 线于点 $F$, 连接 $O F$, 交 $C D$ 于点 $H$, 连接 $G H$ 。
已知: $A B C D$ 与 $A E F G$ 均为正方形, 连接 $C F$, 取 $C F$ 的中点 $M$, 连接 $D M 、 M E$ 。
求证: $\triangle M D E$ 为等腰直角三角形
四边形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$, 且 $A B=A D, A O=O C$ 。请你猜想 $A B+B O$ 与 $B C+O D$ 的数量关系, 并证明你的结论。
已知: 四边形 $A B D C$ 中, $\angle A B C=\angle A C B=58^{\circ}, \angle C A D=48^{\circ}, \angle B C D=30^{\circ}$, 求 $\angle B D A$ 的度数
在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $A B$ 的中点, $\angle D A C=2 \angle D C A, \angle D C B=30^{\circ}$, 求 $\angle B$ 的度数。
在四边形 $A B C D$ 中, $A D=C D, A C=B D, A B \perp A C$, 求 $\angle B E C$ 的度数。
如图, $\triangle A B C$ 中, $B D \perp A C$ 于 $D, E$ 为 $B D$ 上一点, 且 $\angle A B D=38^{\circ}, \angle C B D=68^{\circ}$, $\angle B C E=14^{\circ}$, 求 $\angle D A E$ 的度数。
已知BD是 $\triangle A B D$ 边 $A C$ 上高, $\angle A B D=38^{\circ}, \angle C B D=68^{\circ}, \angle B C E=14^{\circ}, \angle D C E=8^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{CAE}$
$C D$ 为 $\odot O$ 的直径, $A 、 B$ 为半圆上两点, $D E$ 为过点 $D$ 的切线, $A B$ 交 $D E$ 于 $E$, 连接 $O E$, 交 $C B$ 于 $M$, 交 $A C$ 于 $N$ 。求证: $O N=O M$
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $B C=C D, \angle B C A=21^{\circ}, \angle C A D=39^{\circ}, \angle C D A=78^{\circ}$, 求 $\angle B A C$ 的度数。
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $A D=C D, \angle B A C=10^{\circ}, \angle A B D=50^{\circ}, \angle A C D=20^{\circ}$, 求 $\angle C B D$ 的度数。
如图, $B D=C E, G 、 H$ 为 $B C 、 D E$ 中点, $A B=A C, F D=F E, \angle B A C=\angle D F E$ 。
求证: $A F / / G H$
如图, 在正方形 $A B C D$ 中, 有任意四点 $E 、 F 、 G 、 H$, 且 $E F=4 、 G H=3$, 四边形 $E G F H$ 的面积为 5 , 求正方形 $A B C D$ 的面积。
已知 $ 2 \angle C=3 \angle B, 2 B C=A B $, 求 $ \angle A $
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=46^{\circ}, D$ 是 $B C$ 边上一点, $D C=A B, \angle D A B=21^{\circ}$, 求 $\angle C$ 。
在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, D$ 为 $B C$ 边上一点, $E$ 为 $A D$ 上一点, 且满足 $\angle B E D=2 \angle C E D$ $=\angle B A C$ 。求证: $B D=2 C D$ 。
已知, $F C$ 是正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 上的点 $F 、 C$ 的连线, 点 $H$ 是 $F C$ 的中点, 连接 $E H 、 D H$ 。求证: $E H=D H$ 且 $E H \perp D H$ 。
已知: $\angle C A D=\angle D A B=10^{\circ}, \angle C B D=40^{\circ}, \angle D B A=20^{\circ}$, 求证: $\angle C D B=70^{\circ}$
如图, $E 、 F$ 分别是圆内接四边形 $A D B C$ 的
对角线 $A B 、 C D$ 的中点, 若
$\angle D E B=\angle C E B$ 。
求证: $\angle A F D=\angle B F D$
已知: $A B=A C, \angle A D B=60^{\circ}, \angle B C E=30^{\circ}$ 。求证: $B A=B E$
已知: 直角三角形 $A B C, \angle A$ 为直角, $I$ 为内心, $B D 、 C E$ 分别为两内角平分线。 $\triangle I B C$ 的面积为 $S$ 。求四边形 $B C D E$ 的面积。
$A B=A C=C D=D E$, 且 $B E=B D$, 求 $\angle E B D$ 的度数。
以任意四边形四条边为基础向外做正方形, 连接相对两正方形的中心。求 证：这两条线段垂直且相等。
