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平面几何大题练习

数学

一、解答题（共 27 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知: 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A B C = 90^{\circ}, D

为

A C

上一点,

E

是

B D

的中点,

∠ 1 = ∠ 2

。求证:

∠ A D B = 2 ∠ A B D

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2. 已知正方形

A B C D, P

是

C D

上的一点, 以

A B

为直径的圆

⊙ O

交

P A 、 P B

于

E 、 F

, 射线

D E 、 C F

交于点

M

。求证：点

M

在

⊙ O

上。

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3. 已知, 点

D

是

△ A B C

内一定点, 且有

∠ D A C = ∠ D C B = ∠ D B A = 30^{\circ}

。
求证:

△ A B C

是正三角形。

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4. 如图, 过正方形的顶点

A

的直线交

B C 、 C D

于

M 、 N, D M

与

B N

交于点

L, B P ⊥ B N

, 交

D M

于点

P

。求证: (1)

C L ⊥ M N

; (2)

∠ M O N = ∠ B P M

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5. 已知: 在正方形

A B C D

中边长为

1, E

是

C D

上一点,

A E

交

B D

于点

G

, 交

B C

的延长线于点

F

, 连接

O F

, 交

C D

于点

H

, 连接

G H

。

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6. 已知:

A B C D

与

A E F G

均为正方形, 连接

C F

, 取

C F

的中点

M

, 连接

D M 、 M E

。
求证:

△ M D E

为等腰直角三角形

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7. 四边形

A B C D

中, 对角线

A C 、 B D

交于点

O

, 且

A B = A D, A O = O C

。请你猜想

A B + B O

与

B C + O D

的数量关系, 并证明你的结论。

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8. 已知: 四边形

A B D C

中,

∠ A B C = ∠ A C B = 58^{\circ}, ∠ C A D = 48^{\circ}, ∠ B C D = 30^{\circ}

, 求

∠ B D A

的度数

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9. 在

△ A B C

中,

D

是

A B

的中点,

∠ D A C = 2 ∠ D C A, ∠ D C B = 30^{\circ}

, 求

∠ B

的度数。

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10. 在四边形

A B C D

中,

A D = C D, A C = B D, A B ⊥ A C

, 求

∠ B E C

的度数。

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11. 如图,

△ A B C

中,

B D ⊥ A C

于

D, E

为

B D

上一点, 且

∠ A B D = 38^{\circ}, ∠ C B D = 68^{\circ}

,

∠ B C E = 14^{\circ}

, 求

∠ D A E

的度数。

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12. 已知BD是

△ A B D

边

A C

上高,

∠ A B D = 38^{\circ}, ∠ C B D = 68^{\circ}, ∠ B C E = 14^{\circ}, ∠ D C E = 8^{\circ}

, 求

∠ CAE

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13.

C D

为

⊙ O

的直径,

A 、 B

为半圆上两点,

D E

为过点

D

的切线,

A B

交

D E

于

E

, 连接

O E

, 交

C B

于

M

, 交

A C

于

N

。求证:

O N = O M

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14. 如图, 四边形

A B C D

中,

B C = C D, ∠ B C A = 21^{\circ}, ∠ C A D = 39^{\circ}, ∠ C D A = 78^{\circ}

, 求

∠ B A C

的度数。

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15. 如图, 四边形

A B C D

中,

A D = C D, ∠ B A C = 10^{\circ}, ∠ A B D = 50^{\circ}, ∠ A C D = 20^{\circ}

, 求

∠ C B D

的度数。

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16. 如图,

B D = C E, G 、 H

为

B C 、 D E

中点,

A B = A C, F D = F E, ∠ B A C = ∠ D F E

。
求证:

A F / / G H

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17. 如图, 在正方形

A B C D

中, 有任意四点

E 、 F 、 G 、 H

, 且

E F = 4 、 G H = 3

, 四边形

E G F H

的面积为 5 , 求正方形

A B C D

的面积。

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18. 已知

2 ∠ C = 3 ∠ B, 2 B C = A B

, 求

∠ A

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19. 在

△ A B C

中,

∠ A B C = 46^{\circ}, D

是

B C

边上一点,

D C = A B, ∠ D A B = 21^{\circ}

, 求

∠ C

。

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20. 在

△ A B C

中,

A B = A C, D

为

B C

边上一点,

E

为

A D

上一点, 且满足

∠ B E D = 2 ∠ C E D

= ∠ B A C

。求证:

B D = 2 C D

。

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21. 已知,

F C

是正方形

A B C D

和正方形

A E F G

上的点

F 、 C

的连线, 点

H

是

F C

的中点, 连接

E H 、 D H

。求证:

E H = D H

且

E H ⊥ D H

。

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22. 已知:

∠ C A D = ∠ D A B = 10^{\circ}, ∠ C B D = 40^{\circ}, ∠ D B A = 20^{\circ}

, 求证:

∠ C D B = 70^{\circ}

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23. 如图,

E 、 F

分别是圆内接四边形

A D B C

的
对角线

A B 、 C D

的中点, 若

∠ D E B = ∠ C E B

。
求证:

∠ A F D = ∠ B F D

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24. 已知:

A B = A C, ∠ A D B = 60^{\circ}, ∠ B C E = 30^{\circ}

。求证:

B A = B E

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25. 已知: 直角三角形

A B C, ∠ A

为直角,

I

为内心,

B D 、 C E

分别为两内角平分线。

△ I B C

的面积为

S

。求四边形

B C D E

的面积。

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26.

A B = A C = C D = D E

, 且

B E = B D

, 求

∠ E B D

的度数。

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27. 以任意四边形四条边为基础向外做正方形, 连接相对两正方形的中心。求证：这两条线段垂直且相等。

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