一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\{\mathrm{y_n}\}$ 满足 $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} x_n y_n=0$, 则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 发散, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必发散
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 有界,则 $\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right\}$ 必为无穷小
$\text{D.}$ 若 $\left\{\frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 有界,则 $\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right\}$ 必为无穷小
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设有下列命题
(1) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ), 则 $x_n$ 有界.
(2) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.
(3) 数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.
(4) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在 $\Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}^{n \rightarrow \infty}}{x_n}=1$.
则以上命题中正确的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots)$ ，$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,$ 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分也非必要条件
二、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $a_1=a>0, a_2=b>0$, 且满足 $a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^2}+\frac{1}{a_n^2}, \quad n=1,2,3$ 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
设正数列 $A$ 满足$x_{n+1} \leqslant x_n+\frac{1}{n^2},$ 求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $0 < p \leqslant 1, x_1>0, a>0, b>0, x_{n+1}=a+\frac{b}{x_n^p}, n \in \mathbb{N}$.证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $0 \leq x_1 \leq 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求此极限.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足
$$
0 < x_1 < \pi, x_{x+1}=\sin x_n(n=1,2, \cdots) \text {. }
$$
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求极限.
(2) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$.
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$.
(1) 求 $f(x)$ 的最小值;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}} < 1$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限.