单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且取极大值
$\text{B.}$ 连续且取极小值
$\text{C.}$ 可导且导数等于 0
$\text{D.}$ 可导且导数不为 0
设函数 $f(x)$ 在区问 $[a, b]$ 上有定义, 对于命题
(1) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必存在间断点
(2) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有界
下列选项正确的是
$\text{A.}$ 仅 (1) 正确
$\text{B.}$ 仅（2）正确
$\text{C.}$ 都正确
$\text{D.}$ 都错误
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 且 $a \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$.
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$.
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$.
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
设数列通项
$$x_n=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}, & n \text { 为奇数, } \\
\frac{1}{n}, & n \text { 为偶数. }
\end{array}\right.
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $ x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量.
$\text{B.}$ 无穷小量.
$\text{C.}$ 有界变量.
$\text{D.}$ 无界变量.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在。
$\text{B.}$ 极限存在, 但不连续.
$\text{C.}$ 连续, 但不可导.
$\text{D.}$ 可导。
设 $f(x)=3 x^3+x^2|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3.
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4. 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ 0 .
$\text{C.}$ $-1$.
$\text{D.}$ $-2$.
设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{2}$, 则 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $d y$ 是
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小.
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小.
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小.
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)>0$, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 极小值.
$\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
已知曲线满足 $x+y+\mathrm{e}^{2 x y}=0$ ，则曲线在点 $(0,-1)$ 处的切线方程为
设 $h>1$, 则点 $(0, h)$ 到曲线 $y=x^2$ 的最短距离为
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同, 则该圆的方程为
设 $a>0, \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{a \mathrm{e}^{2|x|}+\mathrm{e}^{|x|}}-a(x+\ln |x|) \mathrm{e}^{|x|}}{\sqrt{x^2+\ln |x|} \mathrm{e}^{|x|}}$ 存在, 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算导数 $ f(x)=\sqrt{x^2+1}-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \text {, 求 } f^{\prime}(x) $
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.
设函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdot \cdots \cdot(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdot \cdots \cdot(x+n)}$, 求 $f^{\prime}(1)$.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x-\sin (\sin x))^{\frac{1}{x^3}}$.
已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=b$ ，证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_{n-1} b_2+a_n b_1}{n}=a b
$$