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极限检测

数学

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \tan^{2} x) - x^{2}}{x^{4}}

A.

1

B.

1/2

C.

1/6

D.

1/4

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2. 已知当

x \to 0

时, 函数

f (x) = 3 \sin x - \sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小, 则

A.

k = 1, c = 4

.

B.

k = 1, c = - 4

.

C.

k = 3, c = 4

.

D.

k = 3, c = - 4

.

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3.

x \to 0

时, 若

e^{x} - \frac{1 + a x}{1 + b x + c x^{2}}

是比

x^{3}

高阶的无穷小量, 则

A.

a = \frac{1}{3}, b = - \frac{2}{3}, c = \frac{1}{6}

.

B.

a = \frac{1}{3}, b = - \frac{2}{3}, c = - \frac{1}{6}

.

C.

a = \frac{2}{3}, b = - \frac{1}{3}, c = - \frac{1}{6}

.

D.

a = \frac{4}{3}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{6}

.

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4. 函数

f (x) = (x^{2} - 4 x) | x 2^{| x |} - x^{3} |

的不可导点的个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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5. 设

f (x) = 2^{x} + 3^{x} - 2

, 则当

x \to 0

时, 有

A.

f (x)

与

x

是等价无穷小

B.

f (x)

与

x

同阶但非等价无穷小

C.

f (x)

是比

x

高阶的无穷小

D.

f (x)

是比

x

低阶的无穷小

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x + e^{n x}}{1 + e^{n x}}

, 则

f (x - 1)

的间断点为

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7. 若

x \to 0

时，函数

\cos x - \frac{c + 9 x^{2}}{c + 4 x^{2}}

是

x^{2}

的高阶无穷小，则

c =

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8.

lim_{n \to \infty} n [e {(1 + \frac{1}{n})}^{- n} - 1] =

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9. 已知

x = 0

是

f (x) = \frac{x + b \ln (1 + x)}{a x - \sin x}

的可去间断点，求

a, b

的取值范围

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10.

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x)^{\frac{1}{4}} + (1 - \sin x)^{\frac{1}{4}} - 2}{x^{2}}

.

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11. 设数列

{x_{n}}

满足

x_{1} = a > 1

, 且满足递推

x_{n + 1} = 1 + \ln (\frac{x_{n}^{2}}{1 + \ln x_{n}}), n = 2, 3, \dots

求证:

{x_{n}}

收敛, 并求出极限值

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12. 计算极限:

lim_{n \to \infty} (\sin \frac{1}{n^{2}} + \sin \frac{3}{n^{2}} + \dots + \sin \frac{2 n - 1}{n^{2}})

.

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13. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}

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14. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2} \sin \frac{1}{x})}{x}

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