一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $a_n=\frac{(-1)^{[\cos 2 n]}}{n}$, 其中 $n$ 为正整数, $[\cos 2 n]$ 表示不超过 $\cos 2 n$ 的最大整数, 则数列 $\left\{a_n\right\}$
$\text{A.}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$, 有最小值 -1 .
$\text{B.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 有最大值 $\frac{1}{3}$, 有最小值 -1 .
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-\sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x-\ln (1+\tan x)]\left(e^x-1\right)}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$y=\left(x^2-5 x+6\right)\left|x^3-3 x^2+2 x\right|$ 的不可导点的个数为 ________ 个
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}\right]^n=$
三、解答题 （ 共 1 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
(1) 设 $f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)}, x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.试补充定义 $f(1)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续.
(2) 设 $f(x)=\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)}, x \in\left(0, \left.\frac{1}{2} \right\rvert\,\right.$. 试补充定义 $f(0)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上连续.