单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
样本数据 $16,24,14,10,20,30,12,14,40$ 的中位数为
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 20
椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
记等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_3+a_7=6, a_{12}=17$, 则 $S_{16}=$
$\text{A.}$ 120
$\text{B.}$ 140
$\text{C.}$ 160
$\text{D.}$ 180
设 $\alpha, \beta$ 是两个平面, $m, l$ 是两条直线, 则下列命题为真命题的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m / / \alpha, l / / \beta$, 则 $m \perp l$
$\text{B.}$ 若 $m \subset \alpha, l \subset \beta, m / / l$, 则 $\alpha / / \beta$
$\text{C.}$ 若 $\alpha \cap \beta=m, l / / \alpha, l / / \beta$, 则 $m / / l$
$\text{D.}$ 若 $m \perp \alpha, l \perp \beta, m / / l$, 则 $\alpha \perp \beta$
甲、乙、丙等 5 人站成一排, 且甲不在两端, 乙和丙之间恰有 2 人, 则不同排法共有
$\text{A.}$ 20 种
$\text{B.}$ 16 种
$\text{C.}$ 12 种
$\text{D.}$ 8 种
已知 $Q$ 为直线 $l: x+2 y+1=0$ 上的动点, 点 $P$ 满足 $\overline{Q P}=(1,-3)$, 记 $P$ 的轨迹为 $E$, 则
$\text{A.}$ $E$ 是一个半径为 $\sqrt{5}$ 的圆
$\text{B.}$ $E$ 是一条与 $l$ 相交的直线
$\text{C.}$ $E$ 上的点到 $l$ 的距离均为 $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $E$ 是两条平行直线
已知 $\theta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right), \tan 2 \theta=-4 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$, 则 $\frac{1+\sin 2 \theta}{2 \cos ^2 \theta+\sin 2 \theta}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $\left|F_1 B\right|=2\left|F_1 A\right|, \overline{F_2 A} \cdot \overline{F_2 B}=4 a^2$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{7}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)+\cos \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 为偶函数
$\text{B.}$ 曲线 $y=f(x)$ 的对称轴为 $x=k \pi, k \in \mathbf{Z}$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 的最小值为 -2
已知复数 $z, w$ 均不为 0 , 则
$\text{A.}$ $z^2=|z|^2$
$\text{B.}$ $\frac{z}{\bar{z}}=\frac{z^2}{|z|^2}$
$\text{C.}$ $\overline{z-w}=\bar{z}-\bar{w}$
$\text{D.}$ $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $f\left(\frac{1}{2}\right) \neq 0$, 若 $f(x+y)+f(x) f(y)=4 x y$, 则
$\text{A.}$ $f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
$\text{B.}$ $f\left(\frac{1}{2}\right)=-2$
$\text{C.}$ 函数 $f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ 是偶函数
$\text{D.}$ 函数 $f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 是减函数
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知集合 $A=\{-2,0,2,4\}, B=\{x|| x-3 \mid \leqslant m\}$, 若 $A \cap B=A$, 则 $m$ 的最小值为
已知轴截而为正三角形的圆锥 $M M^{\prime}$ 的高与球 $O$ 的直径相等, 则圆锥 $M M^{\prime}$ 的体积与球 $O$ 的体积的比值是是 ________ ，圆锥 $M M^{\prime}$ 的表面积与球 $O$ 的表面积的比值是 ________
以 $\max M$ 表示数集 $M$ 中报大的数. 设 $0 < a < b < c < 1$, 已知 $b \geqslant 2 a$ 或 $a+b \leqslant 1$, 则 $\max \{b-a, c-b, 1-c\}$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\ln x+x^2+\infty x+2$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线与直线 $2 x+3 y=0$ 垂直.
(1) 求 $a$;
(2) 求 $f(x)$ 的单调区间和极值.
盒中有标记数字 $1,2,3,4$ 的小球各 2 个, 随机一次取出 3 个小球.
(1) 求取出的 3 个小球上的数字两两不同的概率;
(2) 记取出的 3 个小球上的最小数字为 $X$, 求 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$.
如图, 平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, 底面 $A B C D$ 是边长为 2 的正方形, $O$ 为 $A C$与 $B D$ 的交点, $A A_1=2, \angle C_1 C B \cong \angle C_1 C D, \angle C_1 C O=45^{\circ}$.
(1) 证明: $C_1 O \perp$ 平面 $A B C D$;
(2) 求二面角 $B-A A_1-D$ 的正弦值.
已知拋物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 手 $D, E$ 两点, 其中 $B, D$ 在 $x$ 轴上方, $M, N$ 分别为 $A B, D E$ 的中点.
(1) 证明：直线 $M N$ 过定点;
(2) 设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点, 求 $\triangle G M N$ 面积的最小值.
离散对数在密码学中有重要的应用. 设 $p$ 是素数，集合 $X=\{1,2, \cdots, p-1\}$, 若 $u, v \in X ， m \in \mathbb{N}$ ，记 $u \otimes v$ 为 $u v$ 除以 $p$ 的余数， $u^{m, \otimes}$ 为 $u^m$ 除以 $p$ 的余数；设 $a \in X$ ， $1, a, a^{2 . \otimes}, \cdots, a^{p-2, \otimes}$ 两两不同, 若 $a^{n, \oplus}=b(n \in\{0,1, \cdots, p-2\})$, 则称 $n$ 是以 $a$ 为底 $b$ 的离散对数, 记为 $n=\log (p)_a b$.
(1) 若 $p=11, a=2$, 求 $a^{p-1, \otimes}$;
(2) 对 $m_1, m_2 \in\{0,1, \cdots, p-2\}$, 记 $m_1 \oplus m_2$ 为 $m_1+m_2$ 除以 $p-1$ 的余数 (当 $m_1+m_2$ 能被 $p-1$ 整除时, $m_1 \oplus m_2=0$ ). 证明: $\log (p)_0(b \otimes c)=\log (p)_0 b \oplus \log (p)_0 c$, 其中 $b, c \in X$;
(3) 已知 $n=\log (p)_a b$. 对 $x \in X, k \in\{1,2, \cdots, p-2\}$, 令 $y_1=a^{k, \theta}, y_2=x \otimes b^{k, \theta}$. 证明: $x=y_2 \otimes y_1^{n(p-2 \lambda \otimes}$