已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $f\left(\frac{1}{2}\right) \neq 0$, 若 $f(x+y)+f(x) f(y)=4 x y$, 则
$\text{A.}$ $f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
$\text{B.}$ $f\left(\frac{1}{2}\right)=-2$
$\text{C.}$ 函数 $f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ 是偶函数
$\text{D.}$ 函数 $f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 是减函数