设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $\left|F_1 B\right|=2\left|F_1 A\right|, \overline{F_2 A} \cdot \overline{F_2 B}=4 a^2$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{7}$