离散对数在密码学中有重要的应用. 设 $p$ 是素数，集合 $X=\{1,2, \cdots, p-1\}$, 若 $u, v \in X ， m \in \mathbb{N}$ ，记 $u \otimes v$ 为 $u v$ 除以 $p$ 的余数， $u^{m, \otimes}$ 为 $u^m$ 除以 $p$ 的余数；设 $a \in X$ ， $1, a, a^{2 . \otimes}, \cdots, a^{p-2, \otimes}$ 两两不同, 若 $a^{n, \oplus}=b(n \in\{0,1, \cdots, p-2\})$, 则称 $n$ 是以 $a$ 为底 $b$ 的离散对数, 记为 $n=\log (p)_a b$.
(1) 若 $p=11, a=2$, 求 $a^{p-1, \otimes}$;
(2) 对 $m_1, m_2 \in\{0,1, \cdots, p-2\}$, 记 $m_1 \oplus m_2$ 为 $m_1+m_2$ 除以 $p-1$ 的余数 (当 $m_1+m_2$ 能被 $p-1$ 整除时, $m_1 \oplus m_2=0$ ). 证明: $\log (p)_0(b \otimes c)=\log (p)_0 b \oplus \log (p)_0 c$, 其中 $b, c \in X$;
(3) 已知 $n=\log (p)_a b$. 对 $x \in X, k \in\{1,2, \cdots, p-2\}$, 令 $y_1=a^{k, \theta}, y_2=x \otimes b^{k, \theta}$. 证明: $x=y_2 \otimes y_1^{n(p-2 \lambda \otimes}$