1. 如图所示, 两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一水平面内, 导轨电阻不计, 其间距为 $L=1m$ 。左端通过导线连接一个 $R=1.5\mathrm{\Omega }$ 的定值电阻, 整个导轨处在磁感应强度大小 $B=0.4T$, 方向坚直向下的匀强磁场中, 质量 $m=0.2\mathrm{kg}$ 、 电阻 $r=0.5\mathrm{\Omega }$ 长度为 $1\mathrm{m}$ 的匀质金属杆垂直导轨放置, 且与导轨接触良好。在杆的中点施加一个垂直杆的水平拉力 $F$, 使杆由静止开始运动, 拉力 $F$ 的功率 $P=2\mathrm{W}$ 保持不变, 当杆的速度 $v=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 时撤去拉力 $F$ 。求:
(1) 杆的速度为 $4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 时, 杆的加速度的大小;
(2) 从撤去拉力 $F$ 到杆停下整个过程中, 杆上产生的热量 $Q$;
(3) 从撤去拉力 $F$ 到杆停下整个过程中, 杆滑动的位移大小 $x$ 。

2. 如图所示, 电阻 不计且间距 $L=\mathrm{lm}$ 的光滑平行金属导轨所在平面与水平面成 ${53}^{\circ }$ 角, 上端接一阻值 $R=3.5\mathrm{\Omega }$ 的电阻, 虚线 $O{O}^{\prime }$ 下方有磁感应强度 $B=1\mathrm{T}$ 方 向坚直向上的匀强磁场, 现将质量 $m=20\mathrm{g}$ 、电阻 $r=1\mathrm{\Omega }$ 的金属杆 $ab$ 从斜面上由静止释放, 释放位置与虚线 $O{O}^{\prime }$ 之问的距离为 $9\mathrm{cm}$ 。金 属杆在下落的过程中与导轨一直垂直, 且保持良好接触, 导轨足 够长, $g$ 取 $10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2,\sin {53}^{\circ }=0.8$ 。求:
（1）金属杆 $ab$ 刚进有界磁场时的加速度;
（2）金属杆 $ab$ 在磁场中运动的最大速度大小;
（3）若金属杆 $ab$ 从进入磁场到达到最大速度经历的时间为 $0.3\mathrm{s}$, 则这段时间内金属杆向下滑行的距离为多少?

3. 如图所示, $MN$ 和 $PQ$ 是两根互相平行、间距为 $d$ 、坚直放置的光滑金属导轨, 且处于磁 感应强度为 $B$ 的匀强磁场中, 已知导轨足够长, 且电阻不计。 $ab$ 是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆, 金属 杆的质量为 $m$, 电阻为 $r$ 。将开关 $S$ 闭合, 让 $ab$ 由静止开始自由 下落高度 $h$ 后杆的速度达到最大。已知重力加速度为 $g$ 。
（1）请大致再出金属杆的速度随时间变化的图像;
（2）金属杆在下落过程中通过金属杆的电量、产生的热量;
（3）金属枺下落这段高度需要的时间。

4. 如图所示, 电阻为 $2r$ 、半径为 $R$ 的单匝圆形导体线圈两端与导轨 $ME、NH$ 相连, 处于坚直向下磁场中, 其磁感应强度 $B$ 随时间 $t$ 变化规律为:

$\begin{array}{rl}& B=\frac{B_0}{t_0}t,(0\le t\le t_0)\\ & B=B_0,(t>t_0)\end{array}$,

其中 $B_0、t_0$ 为已知量。 $CD、EF、HI$ 是三根材质和粗细相同的匀质金属棒, $CD$ 的长度为 $3d$ 、电阻为 $3r$ 、质量为 $m$ 。导轨 $ME$ 与 $NH$ 平行且间距为 $d$, 导轨 $FG$ 与 $LJ$ 平行且间距为 $3d,EF$ 和 $HI$ 的长度相同且与 $ME、NH$ 的夹角均为 ${30}^{\circ }$ 。区域I和区域II是两个相邻的边长均为 $L$ 的正方形 区域, 区域I中存在坚直向下、磁感应强度大小为 $B_0$ 的匀强磁场。 $0-3t_0$ 时间内, 水平外力使棒 $CD$ 在区域I中某位置保持静止, 且其两 端分别与导轨 $FG$ 与 $IJ$ 对齐。其余导体电阻均不计, 导轨均固定于 水平面内, 不计一切摩擦。

(1) $0\sim t_0$ 和 $t_0\sim 3t_0$ 内, 分别比较棒 $CD$ 两端的电势高低, 并分 别求使棒 $CD$ 保持静止的水平外力 $F$ 大小;
(2) 在 $3t_0$ 以后的某时刻, 撤去右侧圆形磁场, 若区域 I内的磁场 在外力作用下全部从区域I以速度 $v_0$ 匀速运动到区域II时, 导体棒 $CD$ 速度恰好达到 $v_0$ 且恰好进入区域II, 该过程棒 $CD$ 产生的焦耳热 为 $Q$, 求金属棒 $CD$ 与区域 $\mathrm{I}$ 左边界的初始距离 $x_0$ 和该过程维持磁场 匀速运动的外力做的功 $W$;
(3) 在 (2) 前提下, 若磁场运动到区域I时立刻停下, 求导体棒 $CD$ 运动到 $FI$ 时的速度 $v$ 。

5. 光滑金属框架 $abcde$ 置于水平面内, $\mathrm{\angle }b=\mathrm{\angle }c=\mathrm{\angle }d={90}^{\circ }$, 各边长度如图所示。 $cd$ 边接入阻值为 $R$ 的定值电 阻, $ab$ 边接入理想电压表 $\mathrm{V}$, 导棒 $MN$ 平行于 $cd$, 不计框架与导 棒的电阻。匀强磁场垂直于框架平面, 磁感应强度大小为 $B$ 。在 外力作用下, $MN$ 沿框架以初始速度 $v_0$ 从靠近 $cd$ 的位置向右运动, 导棒始终与 $bc$ 垂直且接触良好。 $MN$ 运动到 $ab$ 之前的过程中, 电 压表的示数恒为 $U$ 。
(1) 试从功和能量转化关系的角度证明: $MN$ 在 $d,e$ 之问运动的 过程中, 切割磁感线产生的电动势 $E=2BL{V}_0$;
(2) 若定义“只类加速度”为通过单位位移内的速度改变量, 用公 式表示为 $A=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }s}$ 。请分析说明: $MN$ 向右运动的整个过程中, $A$ 是 如何变化的?
(3) $MN$ 由 $cd$ 向右运动到 $ab$ 的过程中, 安培力对导棒所做的功 $W_A$ 为多少?

6. 如图所示, 匀强磁场垂直 于纸面向外且范围足够大, 磁感应强度的大小为 $B=3\mathrm{T}$, 水平面 上固定不计电阻的关于 $Ox$ 对称的足够长的轨道 $OABCD$ 和 $OEFGH$ 。其中 $EF//AB$ 且间距为 $L=4\sqrt{3}\mathrm{m},GH//CD$ 且间距为 $\frac{L}{2}$, $OE、OA$ 与 $Ox$ 轴的夹角均为 $\theta$, 且 $\theta ={30}^{\circ }$ 。一根粗细均匀的导体 棒长度为 $L$ 、质量为 $m=6\mathrm{kg}$ 、单位长度的电阻为 $r=3\mathrm{\Omega }$, 用沿着 $x$ 轴正方向向右的拉力 $F$ 作用在导体棒的中点, 使其从 $O$ 点开始 沿着 $Ox$ 轴做匀速直线运动, 速度的大小为 $v_0=2\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 。 $3\mathrm{s}$ 木撤去 拉力, 同时断开 $OE$ 和 $OA$ 的连接, 且同时在 $GH$ 和 $CD$ 导轨的左 端上放一根质量为 $\frac{m}{2}$ 、长度 $\frac{L}{2}$ 的导体棒, 金属棒与导轨接触良好, 不计一切摩擦。求:
(1) 导体棒在 $OEA$ 轨道上:时, 电流强度的大小;
（2）导体棒在 $OEA$ 轨道上运动过程中, 产生的焦耳热;
(3) $EF$ 和 $GH$ 都足够长, $3\mathrm{s}$ 末之后两棒产生的总焦耳热。