解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{2 n+1}=a_{2 n}+1, a_{2 n}=2 a_{2 n-1}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $T_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$ ，求证：$T_{2 n} < 3$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=4$ ，当 $n \geq 2$ 时，$a_n-4 a_{n-1}=-\frac{4^n}{n(n-1)}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）已知数列 $b_n=n a_n-1$ ，证明：$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_n} < \frac{4}{9}$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{1}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若 $\frac{5 m-2}{4} < T_n < 5 m$ 对一切 $n \in \mathrm{~N}^*$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=2, a_{n+1}=S_n+n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设单调递增等差数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_2=3$ ，且 $a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+\frac{1}{2} b_3$ 成等比数列．
（i）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（ii）设 $T_n=\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+...+\frac{1}{b_n^2}$ ，试确定 $T_n$ 与 $\frac{3}{4}$ 的大小关系，并给出证明．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=n-a_n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且 $2 b_n=(n-2)\left(a_n-1\right)$ ，若 $T_n \geq \lambda b_n$ 对于 $n \in \mathbf{N}^*$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 和等差数列 $\left\{b_n\right\}$ 中，$a_1=2 b_1=2, a_2=2 b_2, a_3=2 b_3+2$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）令 $c_n=\frac{b_n^2}{a_n}, n \in \mathrm{~N}^*$ ，记数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_n$ ，证明：$T_n \leq \frac{9}{16}$ ．
设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n=\frac{2 a_{n+1}}{1-a_{n+1}^2}, n \in \mathbf{N}^*$ 。数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $a_n=\tan x_n$ ，其中 $x_n \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), n \in \mathbf{N}^*$ 。已知如下结论：当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $\sin x < x < \tan x$ ．
（1）求 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式．
（2）证明：$n-\frac{\pi^2}{12} < \frac{1}{a_1^2+1}+\frac{1}{a_2^2+1}+...+\frac{1}{a_n^2+1} < n$ ．
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=-\frac{3}{2}, 2 a_n=a_{n-1}-2 n-2(n \geq 2)$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+2 n\right\}$ 是等比数列；
（2）记数列 $\left\{n\left(a_n+2 n\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若关于 $n$ 的不等式 $n\left(2-T_n\right) \leq \frac{\lambda(n+2)}{n+1}$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $3 a_1, a_3, 5 a_2$ 成等差数列，$S_4+5=5 a_3$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=a_n \cdot \log _3 a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_2+a_3+a_4=39, a_5=2 a_4+3 a_3$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{n}{a_n}$ ，求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=-1, a_n=2 a_{n-1}+3 n-6\left(n \geq 2, n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_n+3 n\right\}$ 为等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=a_n+n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=5, a_{n+1}=3 a_n-4$ ，设 $b_n=a_n-2, n \in \mathrm{~N}^*$ ．
（1）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $T_n=\frac{\log _3 b_1}{b_1}+\frac{\log _3 b_2}{b_2}+\cdots+\frac{\log _3 b_n}{b_n},\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，求证：$T_n < \frac{3}{4}$ ．
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $a_1=1$ ，且 $a_1, a_2, S_3$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{1}{4 S_n-1}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．