设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n=\frac{2 a_{n+1}}{1-a_{n+1}^2}, n \in \mathbf{N}^*$ 。数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $a_n=\tan x_n$ ，其中 $x_n \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), n \in \mathbf{N}^*$ 。已知如下结论：当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $\sin x < x < \tan x$ ．
（1）求 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式．
（2）证明：$n-\frac{\pi^2}{12} < \frac{1}{a_1^2+1}+\frac{1}{a_2^2+1}+...+\frac{1}{a_n^2+1} < n$ ．