在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=-\frac{3}{2}, 2 a_n=a_{n-1}-2 n-2(n \geq 2)$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+2 n\right\}$ 是等比数列；
（2）记数列 $\left\{n\left(a_n+2 n\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若关于 $n$ 的不等式 $n\left(2-T_n\right) \leq \frac{\lambda(n+2)}{n+1}$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．