已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{1}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若 $\frac{5 m-2}{4} < T_n < 5 m$ 对一切 $n \in \mathrm{~N}^*$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．