试求行列式 $|\boldsymbol{A}|,|\boldsymbol{B}|,|\boldsymbol{C}|$ ，其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 分别为 $n, m, n+m$ 阶方阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & =\left[\begin{array}{cccc}
1+x & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1+x & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1+x
\end{array}\right], \\
\boldsymbol{B} & =\left[\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 2 & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
m & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \mathbf{0}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a x_2+x_3=3, \\ x_1+2 a x_2+x_3=4, \\ b x_1+x_2+x_3=4 .\end{array}\right.$
（1）试问：常数 $a, b$ 取何值时，方程组有无穷多解、有唯一解、无解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．
设四阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{X}$ 满足方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$ ，已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵
$$
\boldsymbol{A}^*=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 8
\end{array}\right],
$$
求矩阵 $\boldsymbol{X}$ ．
求正交变换 $\boldsymbol{x}=Q y$ ，用此正交变换将以下实二次型化为标准形：
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3 .
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3 \times 4$ 矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2$ ，且已知非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的 3 个解为
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
2 \\
1 \\
-1 \\
4
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r}
4 \\
5 \\
-3 \\
11
\end{array}\right] .
$$
试求：（1）齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解；
（2）非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解．
已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 中的向量组
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
-2
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
3 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-6
\end{array}\right], \\
& \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{r}
-3 \\
8 \\
2
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-2
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{r}
-2 \\
5 \\
-6
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
（1）求由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 生成的子空间 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的维数与一个基；
（2）从 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 中选出属于 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的向量，并求出它们在题（1）中所选的基下的坐标．