单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x}}$
$\text{A.}$ 无水平渐近线，无铅直渐近线
$\text{B.}$ 有水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{C.}$ 无水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{D.}$ 有水平渐近线，无铅直渐近线
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=e^{y+a z}$（ $a$ 是非零常数）确定，则（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数 $g$ ，则 ()
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $p(t)$ ，某机构持有该证券的份额为 $q(t)$ ，若该机构在 $[0, T]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) d t$
$\text{B.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) d t$
$\text{C.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
$\text{D.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ．若存在矩阵 $B$ 满足 $A B=C$ ，则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$
$\text{B.}$ $a=2, b=2$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=2, \quad b=-1$
设 $A$ 为 3 阶非零矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $A^*=-2 A$ ，则 $A^2=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$
设3阶矩阵 $A 、 B$ 满足 $A B+B A=A^2+B^2$ ，且 $A \neq B$ ，则下列错误的是（）
$\text{A.}$ $(A-B)^3=0$
$\text{B.}$ $A-B$ 只有零特征值
$\text{C.}$ $A 、 B$ 不能都是对角矩阵
$\text{D.}$ $A-B$ 只有一个线性无关的特征向量
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，$X$ 概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{(1+x)^2}, x>0 \\ 0,\end{array}\right.$
则 $P\{X Y \leq 1\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，随机变量 $Y \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X Y$ 与 $X+Y$ 的相关系数
为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}(k=1,2, \ldots)$ ，则对于正整数 $m, n$ ，有
$\text{A.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>m\}$
$\text{B.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}=P\{X>n\}$
$\text{C.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}>P\{X>m\}$
$\text{D.}$ $P\{X>m+n \mid X>m\}>P\{X>n\}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^1 x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) d x=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^p(x+1)} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^x$ 满足条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ 的解为 $y=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3 a\end{array}\right)$ ，若二次型 $x^T\left(A A^T\right) x$ 的规范型为 $y_1^2$ ，
则 $a+b=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 $Y$ 服从参数为 3 的泊松分布．$X$ 与 $Y-X$ 相互独立，则 $E(X Y)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\frac{1}{(2-x)^2}-\int_0^1 f(x) d x$ ，将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数．
已知函数 $g(x)$ 连续，设 $f(x)=\int_0^{x^2} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
求 $f(x, y)=\left(2 x^2-y^2\right) e^x$ 的极值
设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ，计算二重积分 $\iint_D \frac{y}{\left(1+x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} d x d y$
已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，记 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ ，$$
G=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)
$$
（1）证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组．
（2）求矩阵 $H$ 使得 $A=G H$ ，并求 $A^{10}$ ．
假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数，为估计 $\theta$ ，取 $n$ 个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 $k(1 \leq k \leq n)$ 个元件失效时停止．
（1）若 $k=1$ ，失效元件寿命记为 $T$ ，（i）求 $T$ 的概率密度；（ii）确定 $a$ ，使 $\hat{\theta}=a T$ 是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$ ；
（2）已知 $k$ 个失效元件寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$ ，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$ ，似然函数为 $L(\theta)=\frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}\left[\sum_{i=1}^k t_i+(n-k) t_k\right]}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计值．