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已知函数 $g(x)$ 连续，设 $f(x)=\int_0^{x^2} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
                        
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