解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试论下列函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性与间断性：
（1） $f(x)= \begin{cases}x \sin (1 / x), & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
（2）$f(x)= \begin{cases}\frac{1-\cos x}{x^2}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{cases}$
（3）$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}}$ ．
（4）$f(x)= \begin{cases}\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4^n+x^{2 n}+x^{-2 n}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
在 $(0,1)$ 上考察下列函数 $f(x)$ 的连续性：
（1）Riemann 函数 $f(x)= \begin{cases}0, & x \text { 是无理数，} \\ \frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}(p, q \in N , ~ \text { 且互素 }) .\end{cases}$
（2）$f(x)= \begin{cases}x, & x \text { 是无理数，} \\ \frac{n x}{n+1}, & x=\frac{m}{n}(m, n \in N , \text { 且互素 }) .\end{cases}$
试证明下述命题：
（1）设 $f \in C([a, b]), \infty>0,|f(b)-f(a)| \geqslant \varepsilon_0$ ，令
$$
E=\left\{t \in[a, b):|f(x)-f(a)| < \varepsilon_0, a \leqslant x \leqslant t\right\},
$$
以及 $t_0=\sup \{E\}$ ，则 $\left|f\left(t_0\right)-f(a)\right|=\varepsilon$ 。
（2）数集 $\left\{2^m 3^n: m, n \in Z \right\}$ 在 $(0, \infty)$ 上稠密。
证明题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C( R )$ 。若有 $f(2 x)=f(x)(x \in R )$ ，则 $f(x)$ 恒等于一个常数。
（2）设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x+y)=f(x) f(y) \quad(x, y \in R ),
$$
且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则 $f \in C( R )$ 。
设 $f \in C((-\infty, \infty))$ 是周期函数，记其一切正周期全体形成的数集的下确界为 $T_0$ 。若 $T_0=0$ ，试证明 $f(x)=C$（常数）。
解答下列问题：
（1）求在 $(-\infty, \infty)$ 上满足方程 $f(x+y)-f(x-y)=f(x) f(y)$ 且在 $x=0$ 处连续的解 $f(x)$ ．
（2）求在 $(-\infty, \infty)$ 上满足方程 $f(\alpha x)+f(\beta y)=a x+b(\alpha \beta \neq 0)$ 的连续解 $f(x)$ ．
（3）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，且对任意的 $x \in(-\infty, \infty)$ ，有
$$
\lim _{h \rightarrow+\infty}[f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)]=0,
$$
试证明 $f(x)$ 是线性函数．
设 $f \in C([0,1])$ ，且值域 $R(f)=[0,1]$ ，以及 $f(0)=1-f(1)=0, \quad f_n(x) \triangleq(f \circ f \circ \cdots \circ f)(x) \quad(n$ 次复合 $)$若存在 $m$ ，使得 $f_{n_0}(x)=x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则 $f(x) \equiv x$ 。
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ ．若对任意的 $x \in[a, b]$ ，存在 $\bar{x} \in[a, b]$ ，使得 $|f(\bar{x})| \leqslant$ $\frac{|f(x)|}{2}$ ，则存在 $x_0 \in[a, b]$ ，使得 $f\left(x_0\right)=0$ 。
（2）设 $f \in C([0, \infty))$ ，且满足方程
$$
f(x) \cdot f(y) \leqslant x f(y / 2)+y f(x / 2) \quad(x, y \geqslant 0),
$$
则 $f(x) \leqslant x(x \geqslant 0)$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([0,1])$ ．若值域 $R(f) \subset[0,1]$ ，则存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 $f(\xi)=\xi$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ ．若 $f(a)=f(b)$ ，则在 $[a, b]$ 中存在 $c, d, d-c=(b-a) / 2$ ，使得 $f(c)=f(d)$ ．
（3）设 $f \in C([0,1])$ ．若 $f(0)=f(1)$ ，则存在 $\alpha, \beta: 0 \leqslant \alpha < \beta \leqslant 1, \beta-\alpha=1 / 5$ ，使得 $f(\alpha)=f(\beta)$ ．
（4）设 $f \in C([a, b]), x_i \in[a, b](i=1,2, \cdots, n)$ ．则存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $f(\xi)=\sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) / n$.
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，则对任意区间 $(a, b)$ ，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
p f(a)+q f(b)=(p+q) f(\xi) \quad(p, q>0) .
$$
（2）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，且其函数值变号，则存在等差数组 $a < b < c$ ，使得
$$
f(a)+f(b)+f(c)=0 .
$$
判别下列函数在指定区间上的一致连续性：
（1）$f(x)=\ln x,(0,1]$ ．
（2）$f(x)=\frac{\sin x}{x},(0,1]$ ．
（3）$f(x)=\sin ^2 x,[0, \infty)$ ．
（4）$f(x)=\sin x^2,[0, \infty)$ ．
（5）$f(x)=\sqrt{x},[0, \infty)$ ．
（6）$f(x)= e ^x,[0, \infty)$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $f \in \operatorname{Lip} \beta([a, b])$ 。若 $0 < \alpha < \beta$ ，则 $\operatorname{Lip} \beta([a, b]) \subset \operatorname{Lip} \alpha([a, b])$ 。
（2）设 $I$ 是一个区间。若任意的 $f \in C(I)$ 都必在 $I$ 上一致连续，则 $I$ 是有界闭区间。