试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ ．若对任意的 $x \in[a, b]$ ，存在 $\bar{x} \in[a, b]$ ，使得 $|f(\bar{x})| \leqslant$ $\frac{|f(x)|}{2}$ ，则存在 $x_0 \in[a, b]$ ，使得 $f\left(x_0\right)=0$ 。
（2）设 $f \in C([0, \infty))$ ，且满足方程

$$
f(x) \cdot f(y) \leqslant x f(y / 2)+y f(x / 2) \quad(x, y \geqslant 0),
$$


则 $f(x) \leqslant x(x \geqslant 0)$ ．