试证明下述命题：
（1）设 $f \in C([a, b]), \infty>0,|f(b)-f(a)| \geqslant \varepsilon_0$ ，令
$$
E=\left\{t \in[a, b):|f(x)-f(a)| < \varepsilon_0, a \leqslant x \leqslant t\right\},
$$
以及 $t_0=\sup \{E\}$ ，则 $\left|f\left(t_0\right)-f(a)\right|=\varepsilon$ 。
（2）数集 $\left\{2^m 3^n: m, n \in Z \right\}$ 在 $(0, \infty)$ 上稠密。