试论下列函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性与间断性：
（1） $f(x)= \begin{cases}x \sin (1 / x), & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
（2）$f(x)= \begin{cases}\frac{1-\cos x}{x^2}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{cases}$
（3）$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}}$ ．
（4）$f(x)= \begin{cases}\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4^n+x^{2 n}+x^{-2 n}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$