试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([0,1])$ ．若值域 $R(f) \subset[0,1]$ ，则存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 $f(\xi)=\xi$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ ．若 $f(a)=f(b)$ ，则在 $[a, b]$ 中存在 $c, d, d-c=(b-a) / 2$ ，使得 $f(c)=f(d)$ ．
（3）设 $f \in C([0,1])$ ．若 $f(0)=f(1)$ ，则存在 $\alpha, \beta: 0 \leqslant \alpha < \beta \leqslant 1, \beta-\alpha=1 / 5$ ，使得 $f(\alpha)=f(\beta)$ ．
（4）设 $f \in C([a, b]), x_i \in[a, b](i=1,2, \cdots, n)$ ．则存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $f(\xi)=\sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) / n$.