解答下列问题：
（1）求在 $(-\infty, \infty)$ 上满足方程 $f(x+y)-f(x-y)=f(x) f(y)$ 且在 $x=0$ 处连续的解 $f(x)$ ．
（2）求在 $(-\infty, \infty)$ 上满足方程 $f(\alpha x)+f(\beta y)=a x+b(\alpha \beta \neq 0)$ 的连续解 $f(x)$ ．
（3）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，且对任意的 $x \in(-\infty, \infty)$ ，有

$$
\lim _{h \rightarrow+\infty}[f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)]=0,
$$
试证明 $f(x)$ 是线性函数．