单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有 1 到 6 的数字．下列事件是必然事件的是
$\text{A.}$ 向上两面的数字和为 5
$\text{B.}$ 向上两面的数字和大于 1
$\text{C.}$ 向上两面的数字和大于 12
$\text{D.}$ 向上两面的数字和为偶数
2025年＂五一＂期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过 1800 亿元（ 1 亿 $=10^8$ ）同比增长 $8 \%$ ．将数据 1800 亿用科学记数法表示是
$\text{A.}$ $0.18 \times 10^{12}$
$\text{B.}$ $1.8 \times 10^{11}$
$\text{C.}$ $18 \times 10^{10}$
$\text{D.}$ $1.8 \times 10^{12}$
下列计算正确的是（ ）
$\text{A.}$ $a^2+a^3=a^5$
$\text{B.}$ $a^2 \cdot a^3=a^6$
$\text{C.}$ $\left(-a^3\right)^2=a^6$
$\text{D.}$ $a^8 \div a^2=a^4$
＂漏壶＂是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度 $y$（单位： cm ）随漏水时间 $t$（单位：$h$ ）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）。水面高度从 48 cm 变化到 42 cm 所用的时间是
$\text{A.}$ $3 h$
$\text{B.}$ $4 h$
$\text{C.}$ $6 h$
$\text{D.}$ 12 h
某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有 10 元、 20 元、 30 元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为 50 元的概率是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, D$ 是边 $A B$ 上的点，将 $\triangle B C D$ 沿直线 $C D$ 折叠，点 $B$ 的对应点 $E$ 恰好落在边 $A C$ 上．若 $\angle A=34^{\circ}$ ，则 $\angle A D E$ 的大小是（ ）
$\text{A.}$ $35^{\circ}$
$\text{B.}$ $37^{\circ}$
$\text{C.}$ $39^{\circ}$
$\text{D.}$ $41^{\circ}$
如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \widehat{A B}=2 \widehat{C D}$ ．若 $A B=6, C D=\sqrt{13}$ ，则 $\odot O$ 的半径是
$\text{A.}$ $\frac{13}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{2}$
$\text{D.}$ 5
如图1，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是边 $A C$ 上的定点．点 $P$ 从点 $A$ 出发，依次沿 $A B, B C$ 两边匀速运动，运动到点 $C$ 时停止．设点 $P$运动的路程为 $x, D P$ 的长为 $y, y$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示，其中 $M, N$ 分别是两段曲线的最低点。点 $N$ 的纵坐标是（）
$\text{A.}$ $\frac{116}{17}$
$\text{B.}$ $\frac{120}{17}$
$\text{C.}$ $\frac{112}{15}$
$\text{D.}$ $\frac{116}{15}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是 $\qquad$ ．
在平面直角坐标系中，某反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的 $k$ 的值是
方程 $\frac{1}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}$ 的解是
某科技小组用无人机测量一池塘水面两端 $A, B$ 的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面 120 m 的 $P$ 处，测得 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}, B$ 处的俯角为 2 $2^{\circ}$ ，则 $A, B$ 之间的距离是 $\qquad$ m．（ $\tan 22^{\circ}$ 取 0.4$)$
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C=10, B C=2 \sqrt{10}$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，$C D=3$ ．若点 $E$ 在边 $A B$ 上，满足 $C E$ $=B D$ ，则 $A E$ 的长是
已知二次函数 $y=a x^2+(a-2) x-2$（ $a$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）．下列五个结论：
（1）该函数图象经过点 $(-1,0)$ ；
（2）若 $a=-1$ ，则当 $x>-1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；
（3）该函数图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点；
（4）若 $a>2$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^2+(a-2) x-2=0$ 有一个根大于 0 且小于 1 ；
（5）若 $a>2$ ，则关于 $x$ 的方程 $\left|a x^2+(a-2) x-2\right|=2$ 的正数根只有一个．
其中正确的是 $\qquad$ （ 填写序号 ）。
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解不等式组 $\left\{\begin{array}{ll}3 x-5 \leq 1 & \text {（1）} \\ 2 x+1>x & \text {（2）}\end{array}\right.$
如图，四边形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O, A D \| B C$ ．若﹎ㅡ，则 $A D=C B$ ．
从（1）$O A=O C$ ，（2）$\angle A B C=\angle C D A$ ，（3）$A B=C D$ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由。
某校开展＂中国诗词＂竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分。为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取 $m$ 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）$m$ 的值是 $\qquad$ ，扇形统计图中＂ 5 分＂对应的扇形的圆心角大小是 $\qquad$ ．
（2）该校共有 1000 名学生参加竞赛，估计成绩超过 3 分的学生人数。
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
如图，点 $A, B, C, D$ 在 $\odot O$ 上，$B D$ 是直径，$\angle B A C=45^{\circ}$ ，过点 $C$ 作 $C E \| B D$ 交 $A B$ 的延长线于点
$E$ ．
（1）求证：$C E$ 是 $\odot O$ 的切线．
（2）若 $B D=4, \tan \angle A B D=2$ ，求图中阴影部分的面积．
如图是由小正方形组成的 $3 \times 4$ 网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形 $A B C D$ 的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条。
（1）如图1，$E$ 是格点，先将点 $E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，画对应点 $F$ ，再画直线 $F G$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，使直线 $F G$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积．
（2）如图2，先画点 $C$ 关于直线 $B D$ 的对称点 $M$ ，再画射线 $M N$ 交 $B D$ 于点 $N$ ，使 $M N \| A D$ ．
某校数学小组开展以＂羽毛球飞行路线＂为主题的综合实践活动．研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
收集数据 某次羽毛球飞行的高度 $y$（单位：$m$ ）与距发球点的水平距离 $x$（单位：$m$ ）的对应值如表（不考虑空气阻力）。
探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线 $y=a x^2+b x$ +1.1 的一部分．
建立模型 求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式（不要求写自变量取值范围）。
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到 2.8 m ？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为 $y=a x^2+k x+1.1$ ，发球点与球网的水平距离是 5 m ．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过 2.1 m ，且球的落地点与球网的水平距离小于 6 m ．求 $k$ 的取值范围．
如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在边 $C D$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 的延长线上，$D E=C F$ ，射线 $A E$ 交对角线 $B D$ 于点 $G$ ，交线段 $D F$ 于点 $H$ ．
（1）求证：$D H=G H$ ．
（2）求证：$A G \cdot E H=E G \cdot G H$ ．
（3）若 $\frac{G E}{E H}=n$ ，直接写出 $\frac{D H}{D F}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）．
抛物线 $y=\frac{1}{4} x^2-3$ 与直线 $y=x$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）．
（1）求 $A, B$ 两点的坐标．
（2）如图1，若 $P$ 是直线 $A B$ 下方抛物线上的点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交线段 $A B$ 于点 $N$ ，满足 $P M=P N$ ，求点 $P$ 的横坐标．
（3）如图2，经过原点 $O$ 的直线 $C D$ 交抛物线于 $C, D$ 两点（点 $C$ 在第二象限），连接 $A C, B D$ 分别交 $x$ 轴于 $E, F$ 两点．若 $S_{\triangle D O F}=$ $\frac{3}{4} S_{\triangle C O E}$ ，求直线 $C D$ 的解析式．
