单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作, 其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥, 若某直角圆锥内接于一球 (圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上), 求此圆锥侧面积和球表面积之比 ( )
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4 \pi}$
已知圆锥的高为 3 , 若该圆锥的内切球的半径为 1 , 则该圆锥的表面积为 ( )
$\text{A.}$ $6 \pi$
$\text{B.}$ $6 \sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ $9 \pi$
$\text{D.}$ $12 \pi$
设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱的长都为 1 , 顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $5 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{11}{3} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{7}{3} \pi$
已知三棱锥 $D-A B C$ 的外接球半径为 2 , 且球心为线段 $B C$ 的中点, 则三棱锥 $D-A B C$ 的体积的最大值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{16}{3}$
如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文, 墓碑上刻着一个圆柱, 圆柱内有一个内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现。我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（）
$\text{A.}$ 体积之比 $\frac{5}{2}$
$\text{B.}$ 体积之比 $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 表面积之比 $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 表面积之比 $\frac{3}{2}$
省将一个棱长为 4 的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接, 得到一多面体, 则这个多面体的内切球体积为
$\text{A.}$ $\frac{4 \sqrt{2}}{3} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{8}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{8}{27} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{8 \sqrt{6}}{27} \pi$
已知正四棱锥的侧棱长为 $I$, 其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 $36 \pi$,且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3}$, 则该正四棱锥体积的取值范围是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\left[18, \frac{81}{4}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{27}{4}, \frac{81}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{27}{4}, \frac{64}{3}\right]$
$\text{D.}$ $[18,27]$
点 $M 、 N$ 为正四面体 $A B C D$ 的内切球球面上的两个动点, $T$ 为棱 $A B$ 上的一动点, 则当 $\angle M T N$ 取最大值时, $\tan \angle M T N=(\quad)$
c. $\sqrt{2}$
$\text{A.}$ $-\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
如图, 在正四棱柱 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中, $A A^{\prime}=2 A B=4, O$ 为此正四棱柱的外接球球心, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ $B C \perp A B^{\prime}$
$\text{B.}$ 球 $O$ 的表面积为 $20 \pi$
$\text{C.}$ 点 $O$ 到 $A D$ 的距离为 $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ 四棱锥 $O-A B C D$ 的表面积为 $4+4 \sqrt{5}$
传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱, 圆柱内有一个内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等 $\cdot$"圆柱容球"是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， $O_1, O_2$ 为圆柱上下底面的圆心， $O$ 为球心, $E F$ 为底面圆 $O_1$ 的一条直径, 若球的半径 $r=2$, 则 ( )
$\text{A.}$ 球与圆柱的表面积之比为 $1: 2$
$\text{B.}$ 平面 $D E F$ 截得球的截面面积最小值为 $\frac{16}{5} \pi$
$\text{C.}$ 四面体 CDEF 的体积的取值范围为 $\left(0, \frac{32}{3}\right]$
$\text{D.}$ 若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点, 则 $P E+P F$ 的取值范围为 $[2+2 \sqrt{5}, 4 \sqrt{3}]$
如图, 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A D=4$, 点 $E 、 F$ 分别为 $A_1 B_1, B C$ 的中点, 点 $P$ 满足 $AP=\lambda A D+\mu A A_1, \lambda \in[0,1], \mu \in[0,1]$, 则下列说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $\lambda+\mu=1$, 则四面体 $P E F D_1$ 的体积为定值
$\text{B.}$ 若 $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{4}$, 则 $C_1 P \perp$ 平面 $E F D_1$
$\text{C.}$ 若 $\lambda=1, \mu=0$, 则四面体 $P C F D_1$ 的外接球的表面积为 $36 \pi$
$\text{D.}$ 平面 $E F D_1$ 截正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 所得截面的周长为 $\frac{25}{3}+\frac{2 \sqrt{13}}{3}+3 \sqrt{5}$
如图, 在多面体 $A B C D E F$ 中, 底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形, $D E=B F=1, D E \| B F, D E \perp$ 平面 $A B C D$, 动点 $P$ 在线段 $E F$ 上, 则下列说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ $A C \perp D P$
$\text{B.}$ 存在点 $P$, 使得 $D P \|$ 平面 $A C F$
$\text{C.}$ 当动点 $P$ 与点 $F$ 重合时, 直线 $D P$ 与平面 $A F C$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
$\text{D.}$ 三棱锥 $A-C D E$ 的外接球被平面 $A C F$ 所截取的截面面积是 $\frac{9 \pi}{2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
棱锥 $P-A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上.棱锥 $P-A B C$ 的各棱长为: $P A=2, P B=3, P C=4, A B=$ $\sqrt{13}, B C=5, A C=2 \sqrt{5}$, 则球 $O$ 的表面积为
已知三棱锥 $P-A B C$, 若 $P A, P B, P C$ 两两垂直, 且 $P A=2, P B=P C=1$, 则三棱锥 $P-A B C$ 的内切球半径为
如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A A_1=3, B C=6, A B=A C=3 \sqrt{2}, P$ 为线段 $A_1 B_1$ 上的一点, 且二面角 $A-B C-P$ 的正切值为 3 , 则三棱锥 $A-A_1 C_1 P$ 的外接球的体积为
在平面四边形 $A B C D$ 中, $A B=A D=\sqrt{2}, B C=C D=1, B C \perp C D$, 将四边形沿 $B D$ 折起, 使 $A^{\prime} C=\sqrt{3}$, 则四面体 $A^{\prime}-B C D$ 的外接球 $O$ 的表面积为 $\qquad$ ; 若点 $E$ 在线段 $B D$ 上, 且 $B D=3 B E$, 过点 $E$ 作球 $O$ 的截面,则所得的截面中面积最小的圆的半径为 $\qquad$