单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知命题＂$p: \exists x \in(-3,+\infty), x^2 \leqslant 9$＂，则 $\neg p$ 是
$\text{A.}$ $\forall x \in(-3,+\infty), x^2>9$
$\text{B.}$ $\forall x \in(-3,+\infty), x^2 \leqslant 9$
$\text{C.}$ $\exists x \in(-3,+\infty), x^2 \geqslant 9$
$\text{D.}$ $\exists x \in(-3,+\infty), x^2>9$
已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{x \in \mathbf{N} \mid x < 3\}$ ，那么集合 $A \cup B$ 等于
$\text{A.}$ $[-1,3)$
$\text{B.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{C.}$ $\{-1,0,1,2\}$
$\text{D.}$ $\{-1,0,1,2,3\}$
不等式 $\frac{7}{2 x-1}>1$ 的解集为
$\text{A.}$ $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{2} < x < 4\right.\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{4} < x < 2\right.\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{x \left\lvert\, x < \frac{1}{2}\right.\right.$ 或 $\left.x>4\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{x \left\lvert\, x < \frac{1}{4}\right.\right.$ 或 $\left.x>2\right\}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+1, x \leqslant 1, \\ \frac{2}{x}, x>1,\end{array}\right.$ 则 $f(f(3))$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{13}{9}$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,5)$ ，则函数 $g(x)=f(x-1)+\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域为
$\text{A.}$ $[2,4)$
$\text{B.}$ $[2,6)$
$\text{C.}$ $(2,4)$
$\text{D.}$ $(2,6)$
定义集合 $A$ 和 $B$ 的运算：$A \bigcirc B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in B\}$ ，若集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3\}$ ，则 $A \cup B$ 的真子集个数为
$\text{A.}$ 31
$\text{B.}$ 32
$\text{C.}$ 62
$\text{D.}$ 63
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(-\sqrt{2})>f(\sqrt{3})$ ，则 $f(-3), f(\sqrt{5})$ ， $f(\pi)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f(\sqrt{5}) < f(-3) < f(\pi)$
$\text{B.}$ $f(\pi) < f(-3) < f(\sqrt{5})$
$\text{C.}$ $f(-3) < f(\sqrt{5}) < f(\pi)$
$\text{D.}$ $f(\sqrt{5}) < f(\pi) < f(-3)$
已知命题 $p$ ：存在 $a \in \mathbf{R}$ 且 $a \neq 0$ ，对于任意的 $x \in \mathbf{R}$ ，使得 $f(x+a) < f(x)+f(a) ; q_1: f(x)$ 在 $\mathbf{R}$上单调递减，且 $f(x)>0$ 恒成立；$q_2: f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且存在 $x_0 < 0$ 使得 $f\left(x_0\right)=0$ ．下列说法正确的是
$\text{A.}$ 只有 $q_1$ 是 $p$ 的充分条件
$\text{B.}$ 只有 $q_2$ 是 $p$ 的充分条件
$\text{C.}$ $q_1, q_2$ 都是 $p$ 的充分条件
$\text{D.}$ $q_1, q_2$ 都不是 $p$ 的充分条件
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
若 $a, b, c \in \mathbf{R}$ ，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $a c^2>b c^2$ ，则 $a>b$
$\text{B.}$ 若 $a>b$ 且 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$
$\text{C.}$ 若 $b>a>0$ ，则 $a^3+a < b^3+b$
$\text{D.}$ 若 $a>b>0$ 且 $c < 0$ ，则 $a+c < b+c$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[1,+\infty)$ ，且 $f(\sqrt{x}+1)=2 \sqrt{x}+x$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)=x^2-1(x \geqslant 1)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的值域为 $[-1,+\infty)$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增
$\text{D.}$ $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的值域为 $[0,+\infty)$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, \forall x, y \in \mathbf{R}, f(x+y)=f(x) f(y)$ ，且 $f(1)=\frac{1}{2}$ ，则
$\text{A.}$ $f(2)=\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增
$\text{C.}$ $f(x+1) < f(x)$
$\text{D.}$ $f(x+2)-f(x+1) < f(x+1)-f(x)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知幂函数 $y=x^\alpha$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ 和点 $(16, n)$ ，则 $n=$
已知两正数 $x, y$ ，满足 $x+\frac{2}{y}=1$ ，则 $\frac{2}{x}+y$ 的最小值为
定义域为 $\mathbf{R}$ 的偶函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且 $g(1)=0$ ，若关于 $x$ 的不等式（ $a x +1) g(x-1) \geqslant(b x-2) g(1-x)$ 的解集为 $[0,+\infty)$ ，则 $b^2+a$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）已知 $f(x)=3 x+2$ ，求 $f(2 x+5)$ 的解析式；
（2）已知 $f(x)$ 为二次函数，且 $f(x+1)+f(x-1)=2 x^2-4 x$ ，求 $f(x)$ 的解析式．
已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}$ ，不等式 $2 t x^2+2 t x+1>0$ 恒成立，当命题 $p$ 为真命题时，实数 $t$ 的取值集合为 $A$ 。
（1）求集合 $A$ ；
（2）设非空集合 $B=\{t \mid a-2 < t+1 < 2 a\}$ ，若＂$x \in A$＂是＂$x \in B$＂的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x^2-3(a+1) x+2 a^2+3 a(a \in \mathbf{R})$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f(x) < 0$ 的解集为 $(1,5)$ ，求实数 $a$ 的值；
（3）设关于 $x$ 的不等式 $f(x) < 0$ 的解集为 $A, B=[-1,1]$ ，若 $A \cap B=\varnothing$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
已知矩形 $A B C D$ 的周长为 20 ，其中 $A B>A D$ ，如图所示，$E$ 为 $C D$ 边上一动点，把四边形 $A B C E$ 沿 $A E$ 折叠，使得 $A B$ 与 $D C$ 交于点 $P$ ．设 $D P=x, P E=y$ ．
（1）若 $A D=3$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数 $y=f(x)$ ，并求定义域；
（2）在（1）条件下，判断并证明 $y=f(x)$ 的单调性；
（3）求 $\triangle A D P$ 面积的最大值．
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，给定集合 $D$ ，若 $f(x)$ 满足对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ ，存在实数 $\lambda$ ，当 $x_1-x_2 \in D$ 时，都有 $\lambda\left[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right] \in D$ ，则称 $f(x)$ 是 $D$ 上的＂$\lambda$ 级优函数＂．
（1）请写出一个 $\{1\}$ 上的＂ 1 级优函数＂，并说明理由．
（2）已知 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 上的＂ 2 级优函数＂，
（i）证明：$f(x+6)-f(x)=3$ ；
（ii ）当 $x \in[0,1]$ 时，$f(x)=a x+\frac{b}{x+1}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，求 $a, b$ 的值．