已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，给定集合 $D$ ，若 $f(x)$ 满足对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ ，存在实数 $\lambda$ ，当 $x_1-x_2 \in D$ 时，都有 $\lambda\left[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right] \in D$ ，则称 $f(x)$ 是 $D$ 上的＂$\lambda$ 级优函数＂．
（1）请写出一个 $\{1\}$ 上的＂ 1 级优函数＂，并说明理由．
（2）已知 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 上的＂ 2 级优函数＂，
（i）证明：$f(x+6)-f(x)=3$ ；
（ii ）当 $x \in[0,1]$ 时，$f(x)=a x+\frac{b}{x+1}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，求 $a, b$ 的值．