单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
数列：$-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{3}, \frac{1}{4},-\frac{1}{5}, \cdots \cdots$ 的一个通项公式为
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{n}$
$\text{C.}$ $\frac{(-1)^{n-1}}{n}$
$\text{D.}$ $\frac{(-1)^n}{n}$
已知直线 $l: y=-x+m$ 经过圆 $C: x^2+2 x+y^2-8=0$ 的圆心，则实数 $m$ 为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，若 $a_3+a_7=12$ ，则 $a_5$ 为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 7
已知 $\boldsymbol{a}=(2,-1,3), \boldsymbol{b}=(-4, x, y)$ ，且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，则
$\text{A.}$ $x=2, y=6$
$\text{B.}$ $x=2, y=-6$
$\text{C.}$ $x=-2, y=6$
$\text{D.}$ $x=-2, y=-6$
已知圆 $C_1:(x+1)^2+(y+2)^2=4$ 与圆 $C_2:(x-2)^2+(y-2)^2=r^2(r>0)$ 的公切线有 3 条，则实数 $r$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_1, F_2$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2}, P$ 是 $C$ 上一点，若 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=a$ ，且 $\cos \angle P F_1 F_2=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
已知公比为 3 的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=1$ ，且 $\forall n \in \mathbf{N}^*$ ，不等式 $2 S_n a_n-m a_n+27 \geqslant 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(-\infty, 9]$
$\text{B.}$ $(-\infty, 16]$
$\text{C.}$ $(-\infty, 17]$
$\text{D.}$ $(-\infty, 29]$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $Q$ ．当 $\left|P F_1\right|+|P Q|$ 取最小值 4 时，则 $\triangle Q F_1 F_2$ 面积的最大值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知 $a \in \mathbf{R}$ ，直线 $l_1: 2 x+a y-2=0$ 和直线 $l_2: a x+2 y-1=0$ ，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $l_1 \perp l_2$ ，则 $a=0$
$\text{B.}$ 若 $l_1 \perp l_2$ ，则 $a=1$
$\text{C.}$ 若 $l_1 / / l_2$ ，则 $a= \pm 2$
$\text{D.}$ 若 $l_1 / / l_2$ ，则 $l_1, l_2$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $S_{11} < S_9 < S_{10}$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a_{10}>0$
$\text{B.}$ $a_{11} < 0$
$\text{C.}$ $S_n$ 的最大值为 $S_{10}$
$\text{D.}$ $S_{20}>0$
如图（1）所示，长方形 $A B C D$ 中，$|A D|= 1,|A B|=2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $\triangle A D M$ 沿 $\triangle M$ 翻折到 $\triangle P A M$ ，连接 $P B, P C$ ，得到图（2）的四棱锥 $P-A B- C M$ ．若 $N$ 为线段 $P B$ 中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
$\text{A.}$ $C N / /$ 平面 $P A M$
$\text{B.}$ $C N$ 的长为定值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ 四棱锥 $P-A B C M$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ 设二面角 $P-A M-D$ 的平面角为 $\theta$ ，若 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，则平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的准线方程为 $y=-1$ ，则 $p$ 为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\frac{2}{(2 n-1)(2 n+1)}$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项的和为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ．以 $F_1 F_2$ 为直径的圆和 $C$的渐近线在第一象限交于点 $M$ ，直线 $M F_1$ 交 $C$ 的另一条渐近线于点 $N$ ，若 $\overrightarrow{F_1 N}=3 \overrightarrow{N M}$ ，则 $C$ 的离心率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C: x^2+y^2-6 x-8 y+21=0$ ，直线 $l$ 过点 $(2,1)$ ．
（1）写出圆 $C$ 的标准方程；
（2）当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程．
如图多面体中，平面 $A B C D \perp$ 平面 $A B E F, A B / / C D / / E F, C D=E F= 1, A B=A D=A F=2, \angle B A D=\angle B A F=\frac{\pi}{2}$ ，且 $M$ 为棱 $B E$ 中点．
（1）证明：$A B \perp C E$ ；
（2）求直线 $A M$ 与平面 $C E B$ 所成角的正弦值；
（3）求三棱锥 $F-A C D$ 的外接球半径．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过点 $(1,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $\triangle A O B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求 $|A B|$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{2}{3}, a_{n+1}=\frac{2 a_n}{1+a_n},\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ．
（1）证明：$\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 为等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
（2）记 $b_n=\frac{\left(1-a_n\right) n}{a_n},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ．
（i）求 $T_n$ ；
（ii）若存在 $n \in \mathbf{N}^*$ ，使得 $n\left(S_n-4\right)+4-T_n-\lambda^2 \cdot \cos (n \pi) \leqslant 0$ 成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ ，焦点为 $F$ ，对于抛物线上一点 $P$ ，记 $|P F|=d$ ，已知 $d$ 的最小值为 1 ，将点 $P$ 向上平移 $d$ 个单位长度，得到点 $A$ ．
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若 $O$ 为坐标原点，直线 $P F$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，设直线 $O P, O Q$ 的斜率分别为 $k_1$ ， $k_2$ ，求 $k_1 \cdot k_2$ 的值；
（3）记点 $A$ 到直线 $l: x+y=0$ 的距离为 $r$ ，证明：以 $A$ 为圆心，$r$ 为半径的圆始终经过定点．