已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{2}{3}, a_{n+1}=\frac{2 a_n}{1+a_n},\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ．
（1）证明：$\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 为等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
（2）记 $b_n=\frac{\left(1-a_n\right) n}{a_n},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ．
（i）求 $T_n$ ；
（ii）若存在 $n \in \mathbf{N}^*$ ，使得 $n\left(S_n-4\right)+4-T_n-\lambda^2 \cdot \cos (n \pi) \leqslant 0$ 成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．