已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_1, F_2$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2}, P$ 是 $C$ 上一点，若 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=a$ ，且 $\cos \angle P F_1 F_2=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为
A. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
B. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$
C. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$
D. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$