已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ ，焦点为 $F$ ，对于抛物线上一点 $P$ ，记 $|P F|=d$ ，已知 $d$ 的最小值为 1 ，将点 $P$ 向上平移 $d$ 个单位长度，得到点 $A$ ．
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若 $O$ 为坐标原点，直线 $P F$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，设直线 $O P, O Q$ 的斜率分别为 $k_1$ ， $k_2$ ，求 $k_1 \cdot k_2$ 的值；
（3）记点 $A$ 到直线 $l: x+y=0$ 的距离为 $r$ ，证明：以 $A$ 为圆心，$r$ 为半径的圆始终经过定点．